Sistemas de ecuaciones

$$A = \begin{pmatrix} k + 1 & 3 & k \\ 3 & k + 1 & 2 \\ k & 2 & k \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k + 1 & 3 & k & 1 \\ 3 & k + 1 & 2 & k - 1 \\ k & 2 & k & 2 \end{array}\right)$$a) Desarrollo $|A|$ por la primera fila:$$|A| = (k + 1)\bigl[(k + 1)k - 4\bigr] - 3\bigl[3k - 2k\bigr] + k\bigl[6 - k(k + 1)\bigr]$$$$= (k^3 + 2k^2 - 3k - 4) - 3k + (6k - k^3 - k^2) = k^2 - 4$$$$|A| = 0 \iff k^2 = 4 \iff k = 2 \ \text{ o } \ k = -2$$Caso $k \neq \pm 2$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $k = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right)$$Las dos primeras filas son iguales, así que $\operatorname{rg}(A^*) \leq 2$. El menor de las columnas 1 y 3, $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, da $\operatorname{rg}(A) = 2$. Por tanto $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado.

Caso $k = -2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 3 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & -3 \\ -2 & 2 & -2 & 2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 9 = -8 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. La tercera fila de la ampliada es combinación de las dos primeras: $\frac{1}{2}F_1 - \frac{1}{2}F_2 = \left(-2,\ 2,\ -2 \mid 2\right) = F_3$, también en la columna de términos independientes ($\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$). Así que $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado.

b) Para $k = -3$ ($|A| = 9 - 4 = 5 \neq 0$, compatible determinado):$$\left\{\begin{array}{rl} -2x + 3y - 3z &= 1 \\ 3x - 2y + 2z &= -4 \\ -3x + 2y - 3z &= 2 \end{array}\right.$$Sumando la segunda y la tercera: $-z = -2$, luego $z = 2$. Con $z = 2$, la primera y la segunda quedan$$-2x + 3y = 7, \qquad 3x - 2y = -8$$Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3 y sumando: $5x = 14 - 24 = -10$, así que $x = -2$, y entonces $3y = 7 - 4 = 3$, $y = 1$.$$(x,\ y,\ z) = (-2,\ 1,\ 2)$$Comprobación: $4 + 3 - 6 = 1$ ✓, $-6 - 2 + 4 = -4$ ✓, $6 + 2 - 6 = 2$ ✓.