Se consideran dos sucesos A y B tales que P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}25 y P(A \cap B) = 0{,}125. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos: a) (0,5 puntos) Sea C otro suceso, incompatible con A y con B. ¿Son compatibles los sucesos C y A \cup B? b) (0,5 puntos) ¿Son A y B independientes? c) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad P(\bar{A} \cap \bar{B}) (donde \bar{A} denota el suceso complementario al suceso A). d) (0,75 puntos) Calcular P(\bar{B} \mid A).

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Se consideran dos sucesos

A

B

tales que

P(A) = 0{,}5

P(B) = 0{,}25

P(A \cap B) = 0{,}125

. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos:

a) (0,5 puntos) Sea

C

otro suceso, incompatible con

A

y con

B

. ¿Son compatibles los sucesos

C

A \cup B

?

b) (0,5 puntos) ¿Son

A

B

independientes?

c) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad

P(\bar{A} \cap \bar{B})

(donde

\bar{A}

denota el suceso complementario al suceso

A

).

d) (0,75 puntos) Calcular

P(\bar{B} \mid A)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ C \cap (A \cup B) = \emptyset:\ \text{no son compatibles}}

\boxed{\text{b)}\ P(A)P(B) = 0{,}125 = P(A \cap B):\ \text{independientes}}

\boxed{\text{c)}\ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}375 \qquad \text{d)}\ P(\bar{B} \mid A) = 0{,}75}

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Estrategia

Cada apartado usa una herramienta básica de la teoría de sucesos:

a) Es una pregunta de operaciones con sucesos: "incompatibles" significa intersección vacía, y la intersección se distribuye respecto de la unión.
b) La definición de independencia: comparar $P(A \cap B)$ con $P(A)\cdot P(B)$ .
c) Las leyes de De Morgan convierten "ni $A$ ni $B$ " en el contrario de " $A$ o $B$ ".
d) La definición de probabilidad condicionada, con $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ .

Desarrollo

a) Que

C

sea incompatible con

A

y con

B

quiere decir que

C \cap A = \emptyset

C \cap B = \emptyset

. Por la propiedad distributiva:

C \cap (A \cup B) = (C \cap A) \cup (C \cap B) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset

Luego

C

A \cup B

no son compatibles: son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez).

b) Comparamos:

P(A)\cdot P(B) = 0{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}125 = P(A \cap B)

Se cumple la definición, así que $A$ y $B$ son independientes.

c) Por De Morgan,

\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}

. Primero la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}25 - 0{,}125 = 0{,}625

P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}625 = 0{,}375

Como

A

B

son independientes, también lo son sus contrarios, y se comprueba:

P(\bar{A})\cdot P(\bar{B}) = 0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375

✓.

d) Por la definición de probabilidad condicionada:

P(\bar{B} \mid A) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(A)} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}5 - 0{,}125}{0{,}5} = \frac{0{,}375}{0{,}5} = 0{,}75

Comprobación: por la independencia de b), saber que ha ocurrido

A

no cambia la probabilidad de

\bar{B}

, y en efecto

P(\bar{B}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75

✓.

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Consejo

En a) y b) la corrección no da por buena una respuesta de "sí" o "no" sin justificar: escribe la intersección vacía en a) y la comparación $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ en b).

No confundas incompatibles (no pueden ocurrir juntos, $P(A \cap B) = 0$ ) con independientes (uno no influye en el otro). Aquí $A$ y $B$ son independientes y, justamente por eso, son compatibles.