Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Dados los puntos

P(-3, 1, 2)

Q(-1, 0, 1)

y el plano

\pi

de ecuación

x + 2y - 3z = 4

, se pide:

a) (1 punto) Hallar la proyección de

Q

sobre

\pi

.

b) (0,5 puntos) Escribir la ecuación del plano paralelo a

\pi

que pasa por el punto

P

.

c) (1 punto) Escribir la ecuación del plano perpendicular a

\pi

que contiene a los puntos

P

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ Q' = \left(-\tfrac{3}{7},\ \tfrac{8}{7},\ -\tfrac{5}{7}\right)}

\boxed{\text{b)}\ x + 2y - 3z + 7 = 0}

\boxed{\text{c)}\ x + y + z = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del vector normal de

\pi

\vec{n} = (1, 2, -3)

, que se lee de sus coeficientes:

a) La proyección de $Q$ es el pie de la perpendicular: se traza la recta que pasa por $Q$ con dirección $\vec{n}$ y se corta con $\pi$ .
b) Los planos paralelos a $\pi$ comparten su normal; solo cambia el término independiente, que se ajusta para que pase por $P$ .
c) Un plano perpendicular a $\pi$ contiene la dirección $\vec{n}$ . Si además contiene a $P$ y $Q$ , tiene dos direcciones, $\overrightarrow{PQ}$ y $\vec{n}$ , y su normal es su producto vectorial.

Desarrollo

a) Recta perpendicular a

\pi

por

Q(-1, 0, 1)

\ell \equiv (x, y, z) = (-1 + t,\ 2t,\ 1 - 3t)

Sustituyendo en

\pi

(-1 + t) + 2(2t) - 3(1 - 3t) = 4 \;\Longrightarrow\; -1 + t + 4t - 3 + 9t = 4 \;\Longrightarrow\; 14t = 8 \;\Longrightarrow\; t = \frac{4}{7}

El punto proyección es

Q' = \left(-1 + \frac{4}{7},\ \frac{8}{7},\ 1 - \frac{12}{7}\right) = \left(-\frac{3}{7},\ \frac{8}{7},\ -\frac{5}{7}\right)

Comprobación:

-\frac{3}{7} + \frac{16}{7} + \frac{15}{7} = \frac{28}{7} = 4

✓, y

\overrightarrow{QQ'} = \left(\frac{4}{7}, \frac{8}{7}, -\frac{12}{7}\right) = \frac{4}{7}(1, 2, -3)

es paralelo a

\vec{n}

✓.

b) Un plano paralelo a

\pi

es de la forma

x + 2y - 3z = D

. Pasa por

P(-3, 1, 2)

D = -3 + 2 - 6 = -7 \;\Longrightarrow\; x + 2y - 3z + 7 = 0

c) Direcciones del plano buscado

\sigma

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2,\ -1,\ -1)

\vec{n} = (1,\ 2,\ -3)

. Su normal:

\overrightarrow{PQ} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (3 + 2)\,\vec{i} - (-6 + 1)\,\vec{j} + (4 + 1)\,\vec{k} = (5,\ 5,\ 5)

Podemos tomar como normal

(1, 1, 1)

. El plano

x + y + z + D = 0

pasa por

P

-3 + 1 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = 0

\sigma \equiv x + y + z = 0

Comprobaciones.

Q

-1 + 0 + 1 = 0

✓. Perpendicularidad con

\pi

(1, 1, 1)\cdot(1, 2, -3) = 1 + 2 - 3 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que dos planos sean perpendiculares significa que sus normales son perpendiculares, no que el plano buscado tenga la normal de $\pi$ (eso sería paralelo). Por eso en c) el vector $\vec{n}$ entra como dirección del plano nuevo.

En a), comprueba siempre que el punto obtenido cumple la ecuación del plano: una fracción mal simplificada se detecta al momento.