Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} (x-1)^2 & \text{si} & x \le 1 \\ (x-1)^3 & \text{si} & x > 1 \end{array}\right.

a) (0,5 puntos) Estudie su continuidad en

[-4, 4]

.

b) (1 punto) Analice su derivabilidad y crecimiento en

[-4, 4]

.

c) (1 punto) Determine si la función

g(x) = f'(x)

está definida, es continua y es derivable en

x = 1

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ f \text{ continua en } [-4, 4]}

\boxed{\text{b)}\ \text{derivable, } f'(1) = 0;\ \text{decreciente en } [-4,1],\ \text{creciente en } [1,4];\ \text{mínimo en } (1, 0)}

\boxed{\text{c)}\ g(1) = 0,\ g \text{ continua en } 1,\ \text{no derivable: } g'(1^-) = 2 \neq 0 = g'(1^+)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función a trozos hecha con dos polinomios, así que dentro de cada trozo todo va bien (continuidad y derivabilidad están garantizadas). El único punto que hay que mirar con lupa es el de unión,

x = 1

a) Continuidad: límites laterales y valor de la función en $x = 1$ .
b) Derivabilidad: derivadas laterales en $x = 1$ . Después, el signo de $f'$ en cada trozo da el crecimiento.
c) Se repite el mismo estudio, pero ahora con la función derivada $g = f'$ como protagonista: ¿existe $f'(1)$ ?, ¿coinciden los límites laterales de $g$ ?, ¿coinciden sus derivadas laterales?

Desarrollo

a) En

[-4, 1)

la función es el polinomio

(x-1)^2

y en

(1, 4]

el polinomio

(x-1)^3

, ambos continuos. En

x = 1

f(1) = (1 - 1)^2 = 0, \qquad \lim_{x\to 1^-} (x-1)^2 = 0, \qquad \lim_{x\to 1^+} (x-1)^3 = 0

Los tres valores coinciden, así que

f

es continua en

x = 1

y, por tanto, continua en todo $[-4, 4]$ .

b) Derivabilidad. Fuera de

x = 1

f'(x) = \left\{\begin{array}{lll} 2(x-1) & \text{si} & x < 1 \\ 3(x-1)^2 & \text{si} & x > 1 \end{array}\right.

x = 1

calculamos las derivadas laterales por la definición (usando

f(1) = 0

f'(1^-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{h^2}{h} = \lim_{h\to 0^-} h = 0

f'(1^+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^3}{h} = \lim_{h\to 0^+} h^2 = 0

Coinciden, luego

f

es derivable en

x = 1

con

f'(1) = 0

. Así,

f

es derivable en todo $(-4, 4)$ (y en los extremos del intervalo, con las derivadas laterales correspondientes).

Crecimiento.

Si $-4 \le x < 1$ : $f'(x) = 2(x - 1) < 0$ , luego $f$ es decreciente en $[-4, 1]$ .
Si $1 < x \le 4$ : $f'(x) = 3(x - 1)^2 > 0$ , luego $f$ es creciente en $[1, 4]$ .

x = 1

la función pasa de decrecer a crecer: tiene un mínimo (absoluto en

[-4,4]

f(1) = 0

. Es coherente con que

f(x) \geq 0

a la izquierda de 1 y

f(x) > 0

a la derecha.

c) Por b), la función derivada es

g(x) = f'(x) = \left\{\begin{array}{lll} 2(x-1) & \text{si} & x \le 1 \\ 3(x-1)^2 & \text{si} & x > 1 \end{array}\right.

(el valor en

x = 1

0

, que coincide con la fórmula del primer trozo).

Definida: sí, porque $f$ es derivable en $x = 1$ : $g(1) = f'(1) = 0$ .
Continua: $\lim_{x\to 1^-} 2(x-1) = 0$ y $\lim_{x\to 1^+} 3(x-1)^2 = 0$ , iguales a $g(1) = 0$ . Sí es continua en $x = 1$ .
Derivable: las derivadas laterales de $g$ en $x = 1$ son

g'(1^-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{g(1+h) - g(1)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{2h}{h} = 2, \qquad g'(1^+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{3h^2}{h} = \lim_{h\to 0^+} 3h = 0

Como

2 \neq 0

, $g$ no es derivable en $x = 1$ : la gráfica de

g

tiene un "pico" en ese punto (dicho de otro modo,

f

no tiene derivada segunda en

x = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la derivabilidad en el punto de unión, no basta con sustituir $x = 1$ en las fórmulas de cada trozo sin más: la justificación seria son las derivadas laterales (o sus límites, sabiendo que $f$ es continua). Sin esa comprobación, la corrección no da el punto.

En c) no confundas " $g$ continua" con " $g$ derivable": aquí $g$ es continua en 1 y aun así tiene un pico, porque las pendientes a cada lado (2 y 0) son distintas.