Sistemas de ecuaciones

Incógnitas. Sean $x$, $y$, $z$ los precios, en euros por kilo, de la dorada, la lubina y el rodaballo.

Unidades. $1$ tonelada $= 1000$ kg, así que 13740 t son $13\,740\,000$ kg, etc. El ingreso de cada especie es (kilos) $\times$ (precio por kilo).

Ecuaciones.

1. Ingreso total de las tres especies, 275,8 millones de euros:

$$13\,740\,000\,x + 23\,440\,000\,y + 7\,400\,000\,z = 275\,800\,000 \;\Longrightarrow\; 13740\,x + 23440\,y + 7400\,z = 275800$$

2. Ingreso de los rodaballos, 63,6 millones de euros:

$$7\,400\,000\,z = 63\,600\,000 \;\Longrightarrow\; 7400\,z = 63600$$

3. El kilo de dorada cuesta 11 céntimos ($0{,}11$ euros) más que el de lubina:

$$x - y = 0{,}11$$El sistema es$$\left\{\begin{array}{l} 13740\,x + 23440\,y + 7400\,z = 275800 \\ x - y = 0{,}11 \\ 7400\,z = 63600 \end{array}\right.$$Su determinante de coeficientes es $\begin{vmatrix} 13740 & 23440 & 7400 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7400 \end{vmatrix} = 7400\,(-13740 - 23440) = -7400 \cdot 37180 \neq 0$, así que es compatible determinado: los precios quedan fijados de forma única.

Resolución. De la tercera ecuación:$$z = \frac{63600}{7400} = \frac{318}{37} \approx 8{,}5946$$Restando la tercera de la primera desaparece $z$:$$13740\,x + 23440\,y = 275800 - 63600 = 212200$$Sustituyendo $x = y + 0{,}11$:$$13740\,(y + 0{,}11) + 23440\,y = 212200 \;\Longrightarrow\; 37180\,y + 1511{,}4 = 212200 \;\Longrightarrow\; 37180\,y = 210688{,}6$$$$y = \frac{210688{,}6}{37180} \approx 5{,}6667, \qquad x = y + 0{,}11 \approx 5{,}7767$$Redondeando a céntimos: lubina $5{,}67$ euros/kg, dorada $5{,}78$ euros/kg y rodaballo $8{,}59$ euros/kg.

Comprobación. Con los valores sin redondear, el ingreso de doradas y lubinas es $13740 \cdot 5{,}7767 + 23440 \cdot 5{,}6667 \approx 79372 + 132828 = 212200$ miles de euros, es decir, $212{,}2$ millones; sumando los $63{,}6$ de los rodaballos salen los $275{,}8$ millones ✓. Y la diferencia dorada − lubina es $0{,}11$ euros ✓.