Probabilidad

Llamamos $F_k$ al suceso "falla el disparo $k$" (habiendo llegado a él). Las probabilidades de fallo son$$P(F_1) = 0{,}7, \qquad P(F_2 \mid F_1) = 0{,}6, \qquad P(F_3 \mid F_1 \cap F_2) = 0{,}5, \qquad P(F_4 \mid F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0{,}4$$a) El globo explota sin necesitar el cuarto disparo si acierta en el primero, en el segundo o en el tercero. Su contrario es "falla los tres primeros":$$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}21$$$$P(\text{explota antes del cuarto}) = 1 - 0{,}21 = 0{,}79$$Comprobación sumando las tres ramas de acierto:$$0{,}3 + 0{,}7\cdot 0{,}4 + 0{,}7\cdot 0{,}6\cdot 0{,}5 = 0{,}3 + 0{,}28 + 0{,}21 = 0{,}79 \;\checkmark$$b) El globo sigue intacto si falla los cuatro disparos:$$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}084$$c) Sea $X$ el número de globos que explotan al primer disparo entre los 10 arqueros profesionales. Cada arquero es un ensayo con dos resultados (acierta o no al primer disparo), los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito es la misma en todos, $p = 0{,}85$. Por tanto,$$X \sim B(10;\ 0{,}85)$$$$P(X = 6) = \binom{10}{6}\,0{,}85^{6}\,0{,}15^{4} = 210 \cdot 0{,}3771495 \cdot 0{,}00050625 \approx 0{,}0401$$(el producto exacto da $0{,}040096\ldots$; conviene no redondear $0{,}15^4$ antes de multiplicar, porque es un número muy pequeño y se pierde precisión).

Es una probabilidad pequeña, como cabía esperar: el número medio de aciertos es $np = 8{,}5$, y 6 queda bastante por debajo.