Rectas y planos

Datos de las rectas. Haciendo $x = t$ en $r$: $y = x - 2 = t - 2$ y $z = 3x + 1 = 3t + 1$, es decir,$$r \equiv (x, y, z) = (0,\ -2,\ 1) + t\,(1,\ 1,\ 3), \qquad A(0, -2, 1),\quad \vec{u} = (1, 1, 3)$$(Comprobación: $0 - (-2) = 2$ ✓ y $3\cdot 0 - 1 = -1$ ✓.) De $s$:$$B(-1,\ -4,\ 0), \qquad \vec{v} = (2,\ -1,\ 1)$$a) Los directores no son proporcionales: $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{-1}$. Por tanto, las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Con $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,\ -2,\ -1)$:$$\bigl[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{AB}\bigr] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 + 2) - 1\cdot(-2 + 1) + 3\cdot(-4 - 1) = 3 + 1 - 15 = -11$$Como el producto mixto es distinto de cero, los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.

b) El plano es perpendicular a $r$, así que su vector normal es $\vec{u} = (1, 1, 3)$:$$x + y + 3z + D = 0$$Pasa por $P(2, -1, 5)$: $2 - 1 + 15 + D = 0 \Rightarrow D = -16$.$$\pi_1 \equiv x + y + 3z - 16 = 0$$c) El plano $\pi_2$ contiene a $s$, luego pasa por $B$ y contiene la dirección $\vec{v}$; además es paralelo a $r$, luego contiene la dirección $\vec{u}$. Su normal:$$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 3)\,\vec{i} - (1 - 6)\,\vec{j} + (-1 - 2)\,\vec{k} = (4,\ 5,\ -3)$$Imponiendo que pase por $B(-1, -4, 0)$:$$4(x + 1) + 5(y + 4) - 3(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_2 \equiv 4x + 5y - 3z + 24 = 0$$Comprobaciones. Otro punto de $s$, $B + \vec{v} = (1, -5, 1)$: $4 - 25 - 3 + 24 = 0$ ✓, así que $s \subset \pi_2$. Paralelismo con $r$: $\vec{n}\cdot\vec{u} = 4 + 5 - 9 = 0$ ✓, y el punto $A(0, -2, 1)$ de $r$ da $0 - 10 - 3 + 24 = 11 \neq 0$, luego $r$ es paralela a $\pi_2$ sin estar contenida en él ✓ (coherente con que $r$ y $s$ se crucen: si $r$ estuviera dentro, serían coplanarias).