Derivadas y aplicaciones

a) Sea $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 + 3x^2 - 6x - 1$.

• Hipótesis. $h$ es un polinomio, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[1, 10]$.
• Signos en los extremos.

$$h(1) = 1 + 3 - 6 - 1 = -3 < 0, \qquad h(10) = 1000 + 300 - 60 - 1 = 1239 > 0$$Por el teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (1, 10)$ con $h(c) = 0$, es decir, $f(c) = g(c)$: en ese punto ambas funciones toman el mismo valor.

b) La pendiente de la tangente en $x$ es$$m(x) = f'(x) = 3x^2 + 6x$$Buscamos su mínimo:$$m'(x) = 6x + 6 = 0 \iff x = -1, \qquad m''(x) = 6 > 0$$luego en $x = -1$ la pendiente es mínima (y además es el mínimo absoluto, porque $m$ es una parábola que abre hacia arriba). Valores en ese punto:$$m(-1) = 3 - 6 = -3, \qquad f(-1) = -1 + 3 - 1 = 1$$Recta tangente por $(-1, 1)$ con pendiente $-3$:$$y - 1 = -3\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = -3x - 2$$c) En $[1, 2]$ se tiene $g(x) = 6x \neq 0$, así que el cociente es continuo y la integral existe. Dividimos término a término:$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^3 + 3x^2 - 1}{6x} = \frac{1}{6}\left(x^2 + 3x - \frac{1}{x}\right)$$Una primitiva es$$F(x) = \frac{1}{6}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \ln x\right)$$(en $[1,2]$ es $x > 0$, así que $\ln|x| = \ln x$). Por la regla de Barrow:$$\int_1^2 \frac{f(x)}{g(x)}\,dx = \frac{1}{6}\left[\left(\frac{8}{3} + 6 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 0\right)\right] = \frac{1}{6}\left(\frac{7}{3} + \frac{9}{2} - \ln 2\right) = \frac{1}{6}\left(\frac{41}{6} - \ln 2\right)$$$$\int_1^2 \frac{f(x)}{g(x)}\,dx = \frac{41}{36} - \frac{\ln 2}{6} \approx 1{,}0234$$Comprobaciones. En b), $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = -3$ y la recta $y = -3x - 2$ pasa por $(-1, 1)$ ✓. En c), el integrando vale $\frac{3}{6} = 0{,}5$ en $x = 1$ y $\frac{19}{12} \approx 1{,}58$ en $x = 2$, y es creciente, así que la integral sobre un intervalo de longitud 1 tiene que estar entre $0{,}5$ y $1{,}58$: $1{,}0234$ encaja ✓.