Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes $A$ y ampliada $A^*$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ -a & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & a+1 \\ -a & 1 & -1 & 2a \\ 0 & -1 & 1 & a \end{array}\right)$$Desarrollando el determinante por la primera columna:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-a)\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 = 1\cdot(1 - 1) + a\,(a + 1) = a^2 + a = a\,(a+1)$$$$|A| = 0 \iff a = 0 \quad \text{o} \quad a = -1$$Caso $a \neq 0$ y $a \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 1 \\ y - z = 0 \\ -y + z = 0 \end{array}\right.$$La tercera ecuación es la segunda cambiada de signo (también su término independiente, que es $0$ en ambas). El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas $x$ e $y$) da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y como la tercera fila de $A^*$, $(0,\,-1,\,1 \mid 0)$, es la opuesta de la segunda, $(0,\,1,\,-1 \mid 0)$, también $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Como $2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = -1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x - y + z = 0 \\ x + y - z = -2 \\ -y + z = -1 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg}(A) = 2$, porque $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$. Para la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot\bigl(1\cdot(-1) - (-2)(-1)\bigr) - (-1)\cdot\bigl(1\cdot(-1) - (-2)\cdot 0\bigr) + 0 = -3 - 1 = -4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)$: sistema incompatible. Se ve también a mano: sumando las dos primeras ecuaciones, $2x = -2$, es decir, $x = -1$; entonces la primera da $z - y = 1$, mientras que la tercera dice $z - y = -1$. Contradicción.

b) Con $a = 0$ basta quedarse con dos ecuaciones independientes:$$x + z = 1, \qquad y - z = 0$$Tomando $z = \lambda$ como parámetro: $y = \lambda$, $x = 1 - \lambda$.

Comprobación. $x + z = 1 - \lambda + \lambda = 1$ ✓; $y - z = \lambda - \lambda = 0$ ✓; $-y + z = 0$ ✓. Por ejemplo, $\lambda = 0$ da $(1, 0, 0)$, que cumple las tres ecuaciones con $a = 0$.