Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre

Enunciado

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes

X

Y

. Sabemos que

P(X) = 0{,}4

y que

P(X \cap \overline{Y}) = 0{,}08

(donde

\overline{Y}

es el suceso complementario de

Y

). Se pide:

a) (1 punto) Calcular

P(Y)

.

b) (0,5 puntos) Calcular

P(X \cup Y)

.

c) (1 punto) Si

X

es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando NO sucede

X

, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(Y) = 0{,}8 \qquad \text{b)}\ P(X\cup Y) = 0{,}88}

\boxed{\text{c)}\ N\sim B(8;\ 0{,}6):\quad P(N\ge 2) = 1 - 0{,}4^8 - 8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4^7 \approx 0{,}9915}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Si $X$ e $Y$ son independientes, también lo son $X$ y $\overline{Y}$ , así que $P(X\cap\overline{Y}) = P(X)\,P(\overline{Y})$ : de ahí sale $P(\overline{Y})$ y, por complementario, $P(Y)$ . (Sin usar esa propiedad: $P(X\cap\overline{Y}) = P(X) - P(X\cap Y) = P(X) - P(X)P(Y)$ , y se llega a lo mismo.)
b) Fórmula de la unión, con $P(X\cap Y) = P(X)\,P(Y)$ por la independencia.
c) Cada repetición es independiente de las demás y tiene la misma probabilidad de éxito, $p = P(\overline{X}) = 0{,}6$ . El número de éxitos en 8 repeticiones sigue una binomial $B(8;\ 0{,}6)$ . "Al menos 2" se calcula mejor por el complementario: $1 - P(0) - P(1)$ .

Desarrollo

a) Por la independencia,

P(X\cap\overline{Y}) = P(X) - P(X\cap Y) = P(X) - P(X)\,P(Y) = P(X)\bigl(1 - P(Y)\bigr) = P(X)\,P(\overline{Y})

Sustituyendo:

0{,}08 = 0{,}4\cdot P(\overline{Y}) \;\Longrightarrow\; P(\overline{Y}) = \frac{0{,}08}{0{,}4} = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; P(Y) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

b) Con

P(X\cap Y) = P(X)\,P(Y) = 0{,}4\cdot 0{,}8 = 0{,}32

P(X\cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X\cap Y) = 0{,}4 + 0{,}8 - 0{,}32 = 0{,}88

Comprobación por el complementario:

P(\overline{X}\cap\overline{Y}) = 0{,}6\cdot 0{,}2 = 0{,}12

1 - 0{,}12 = 0{,}88

.

c) En cada repetición, éxito

= \overline{X}

, con probabilidad

p = P(\overline{X}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6, \qquad q = 1 - p = 0{,}4

Las 8 repeticiones son independientes y con la misma

p

, así que el número de éxitos

N

sigue una distribución binomial

N \sim B(8;\ 0{,}6)

P(N = k) = \binom{8}{k}\,0{,}6^{k}\,0{,}4^{8-k}

Por el complementario:

P(N \ge 2) = 1 - P(N = 0) - P(N = 1)

P(N = 0) = \binom{8}{0}\,0{,}6^{0}\,0{,}4^{8} = 0{,}4^8 = 0{,}00065536

P(N = 1) = \binom{8}{1}\,0{,}6\cdot 0{,}4^{7} = 8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}0016384 = 0{,}00786432

P(N \ge 2) = 1 - 0{,}00065536 - 0{,}00786432 = 0{,}99148032 \approx 0{,}9915

Es casi seguro: con una probabilidad de éxito del 60 %, en 8 intentos lo raro es acertar una vez o ninguna.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no escribas $P(X\cap\overline{Y}) = P(X)\,P(\overline{Y})$ sin más: di que los complementarios de sucesos independientes también son independientes (o deduce la igualdad con $P(X) - P(X\cap Y)$ ). La justificación forma parte de la nota.

En c) la mitad de la puntuación es identificar la binomial: escribe $n = 8$ y $p = 0{,}6$ (la probabilidad de no $X$ , no la de $X$ ). Para "al menos 2" usa el complementario.