Del paralelogramo ABCD, se conocen los vértices consecutivos A(1,0,-1), B(2,1,0) y C(4,3,-2). Se pide: a) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento AC y es perpendicular a los segmentos AC y BC. b) (1 punto) Hallar las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo resultante. c) (0,5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Vectores y ángulos · Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre

Enunciado

Del paralelogramo

ABCD

, se conocen los vértices consecutivos

A(1,0,-1)

B(2,1,0)

C(4,3,-2)

. Se pide:

a) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento

AC

y es perpendicular a los segmentos

AC

BC

.

b) (1 punto) Hallar las coordenadas del vértice

D

y el área del paralelogramo resultante.

c) (0,5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ (x,y,z) = \left(\tfrac{5}{2},\ \tfrac{3}{2},\ -\tfrac{3}{2}\right) + \lambda\,(1,\ -1,\ 0)}

\boxed{\text{b)}\ D(3,\ 2,\ -3),\quad \text{Área} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\ \text{u}^2 \qquad \text{c)}\ \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{57}} \approx 0{,}662}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Una recta perpendicular a dos vectores no paralelos tiene como director su producto vectorial. El punto de paso es el punto medio de $AC$ , que además es el centro del paralelogramo (ahí se cortan las diagonales).
b) En un paralelogramo $ABCD$ (vértices consecutivos) los lados opuestos son vectores iguales: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ , de donde $D = A + C - B$ . El área es el módulo del producto vectorial de dos lados que salen del mismo vértice.
c) Fórmula del producto escalar: $\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|}$ .

Desarrollo

Vectores que vamos a usar.

\overrightarrow{AB} = (1,\ 1,\ 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (3,\ 3,\ -1), \qquad \overrightarrow{BC} = (2,\ 2,\ -2)

a) Punto medio de

AC

M = \left(\frac{1 + 4}{2},\ \frac{0 + 3}{2},\ \frac{-1 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2},\ \frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}\right)

Un vector perpendicular a

\overrightarrow{AC}

y a

\overrightarrow{BC}

(que no son paralelos) es su producto vectorial:

\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-6 + 2)\,\vec{i} - (-6 + 2)\,\vec{j} + (6 - 6)\,\vec{k} = (-4,\ 4,\ 0)

Tomamos como director el proporcional

\vec{u} = (1, -1, 0)

. La recta es

s \equiv (x,\ y,\ z) = \left(\frac{5}{2},\ \frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}\right) + \lambda\,(1,\ -1,\ 0), \qquad \lambda\in\mathbb{R}

o, en continua,

\dfrac{x - 5/2}{1} = \dfrac{y - 3/2}{-1}

z = -\dfrac{3}{2}

.

Comprobación:

\vec{u}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 - 3 + 0 = 0

\vec{u}\cdot\overrightarrow{BC} = 2 - 2 + 0 = 0

. (Es la recta perpendicular al plano del paralelogramo por su centro.)

b) Como

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

D = A + \overrightarrow{BC} = (1 + 2,\ 0 + 2,\ -1 - 2) = (3,\ 2,\ -3)

Comprobación: el punto medio de

BD

\left(\frac{2+3}{2}, \frac{1+2}{2}, \frac{0-3}{2}\right) = \left(\frac52, \frac32, -\frac32\right) = M

, el mismo que el de

AC

: las diagonales se cortan en su punto medio.

El área es el módulo del producto vectorial de los lados

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2 - 2)\,\vec{i} - (-2 - 2)\,\vec{j} + (2 - 2)\,\vec{k} = (-4,\ 4,\ 0)

\text{Área} = \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right| = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\ \text{u}^2

(Sale el mismo vector que en a) porque

\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC} = \vec{0}

.)

c)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 + 3 - 1 = 5, \qquad |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3}, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}

\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{3}\,\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{57}} = \frac{5\sqrt{57}}{57} \approx 0{,}6623

que corresponde a un ángulo

\alpha \approx 48{,}53^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el cuarto vértice, fíjate en el orden: con $A$ , $B$ , $C$ consecutivos es $D = A + C - B$ , no $A + B - C$ . Comprobar que las diagonales $AC$ y $BD$ tienen el mismo punto medio te asegura que no te has equivocado.

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial sin dividir entre 2 (eso es la del triángulo). Y en c) piden el coseno: no hace falta dar el ángulo.