Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre

Enunciado

La potencia generada por una pila viene dada por la expresión

P(t) = 25\,t\,e^{-t^2/4}

, donde

t > 0

es el tiempo de funcionamiento.

a) (0,5 puntos) Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento indefinidamente.

b) (0,75 puntos) Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.

c) (1,25 puntos) La energía total generada por la pila hasta el instante

t

E(t)

, se relaciona con la potencia mediante

E'(t) = P(t)

, con

E(0) = 0

. Calcular la energía producida por la pila entre el instante

t = 0

y el instante

t = 2

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lim_{t\to+\infty} P(t) = 0 \qquad \text{b)}\ t = \sqrt{2},\ \ P_{\max} = 25\sqrt{2}\,e^{-1/2} \approx 21{,}44}

\boxed{\text{c)}\ E(t) = 50\left(1 - e^{-t^2/4}\right),\quad E(2) = 50\left(1 - e^{-1}\right) \approx 31{,}61}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados son las tres herramientas del análisis aplicadas a la misma función:

a) "Indefinidamente" significa $t \to +\infty$ . Hay una indeterminación $\infty\cdot 0$ que convertimos en $\frac{\infty}{\infty}$ y resolvemos con L'Hôpital (o recordando que la exponencial crece mucho más deprisa que cualquier polinomio).
b) Derivamos con la regla del producto y de la cadena, igualamos a cero y estudiamos el signo de $P'$ : si crece antes y decrece después, el punto crítico es el máximo absoluto en $(0, +\infty)$ .
c) $E$ es la primitiva de $P$ que vale $0$ en $t = 0$ . La integral $\int t\,e^{-t^2/4}\,dt$ es casi inmediata porque $t$ es, salvo una constante, la derivada del exponente $-\frac{t^2}{4}$ .

Desarrollo

a) Cuando

t \to +\infty

25t \to +\infty

e^{-t^2/4} \to 0

: indeterminación

\infty\cdot 0

. La escribimos como cociente:

\lim_{t\to+\infty} 25\,t\,e^{-t^2/4} = \lim_{t\to+\infty} \frac{25\,t}{e^{t^2/4}} \quad \left[\frac{\infty}{\infty}\right]

Por L'Hôpital (numerador y denominador derivables y el denominador tiende a

+\infty

= \lim_{t\to+\infty} \frac{25}{\frac{t}{2}\,e^{t^2/4}} = \lim_{t\to+\infty}\frac{50}{t\,e^{t^2/4}} = 0

La potencia tiende a $0$ : a la larga la pila se agota.

b) Derivamos con la regla del producto y la de la cadena:

P'(t) = 25\,e^{-t^2/4} + 25\,t\cdot\left(-\frac{t}{2}\right)e^{-t^2/4} = 25\,e^{-t^2/4}\left(1 - \frac{t^2}{2}\right) = \frac{25}{2}\,e^{-t^2/4}\,(2 - t^2)

Como

e^{-t^2/4} > 0

P'(t) = 0 \iff t^2 = 2 \iff t = \sqrt{2}

(descartamos

-\sqrt{2}

porque

t > 0

).

Signo de

P'

(el de

2 - t^2

$0 < t < \sqrt{2}$ : $P'(t) > 0$ , $P$ crece.
$t > \sqrt{2}$ : $P'(t) < 0$ , $P$ decrece.

Así que en

t = \sqrt{2}

se alcanza el máximo absoluto de

P

(0, +\infty)

P(\sqrt{2}) = 25\sqrt{2}\,e^{-2/4} = \frac{25\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \approx 21{,}44

c) Buscamos la primitiva de

P

. Como

\dfrac{d}{dt}\left(e^{-t^2/4}\right) = -\dfrac{t}{2}\,e^{-t^2/4}

\int 25\,t\,e^{-t^2/4}\,dt = -50\int\left(-\frac{t}{2}\right)e^{-t^2/4}\,dt = -50\,e^{-t^2/4} + K

(equivale al cambio

u = -\frac{t^2}{4}

du = -\frac{t}{2}\,dt

). Imponemos

E(0) = 0

E(0) = -50\,e^{0} + K = -50 + K = 0 \;\Longrightarrow\; K = 50 \;\Longrightarrow\; E(t) = 50\left(1 - e^{-t^2/4}\right)

La energía producida entre

t = 0

t = 2

es, por la regla de Barrow,

E(2) - E(0) = \int_0^2 25\,t\,e^{-t^2/4}\,dt = \Bigl[-50\,e^{-t^2/4}\Bigr]_0^2 = -50\,e^{-1} + 50 = 50\left(1 - \frac{1}{e}\right) \approx 31{,}61

Comprobación: derivando

E(t) = 50 - 50\,e^{-t^2/4}

se obtiene

-50\cdot\left(-\frac{t}{2}\right)e^{-t^2/4} = 25\,t\,e^{-t^2/4} = P(t)

, y

E(0) = 50(1 - 1) = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no basta con resolver $P'(t) = 0$ : hay que justificar que es máximo (signo de $P'$ a cada lado o $P''(\sqrt{2}) < 0$ ) y dar las dos cosas que se piden, el instante y la potencia. Descarta $t = -\sqrt{2}$ diciendo por qué.

En c) el error típico es olvidar la constante: $E$ es la primitiva con $E(0) = 0$ , no cualquiera. Si usas Barrow directamente, el resultado es el mismo porque $E(0) = 0$ .