Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Se pide:

a) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz

A

.

b) (0,5 puntos) Calcular la matriz

C = A^2 - 2I

.

c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz

D = ABB^t

(donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad (|A| = 1)}

\boxed{\text{b)}\ C = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{c)}\ |D| = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) "Si es posible" pide comprobar primero que $|A| \neq 0$ . Después, la inversa por adjuntos: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t$ . Al final, multiplicar $A\cdot A^{-1}$ para asegurarnos de que da $I$ .
b) Solo hay que multiplicar $A\cdot A$ fila por columna y restar $2$ en la diagonal.
c) Usamos $|XY| = |X|\,|Y|$ para matrices cuadradas: $|D| = |A|\cdot|BB^t|$ . Cuidado: $B$ es $3\times 2$ y no tiene determinante, así que no se puede escribir $|B|\,|B^t|$ . Pero $BB^t$ es $3\times 3$ y su rango es como mucho 2 (el de $B$ ), así que su determinante es 0.

Desarrollo

a) Desarrollando por la primera fila:

|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0\cdot(1 - 0) - (-1)\cdot(2 + 1) + 2\cdot(0 - 1) = 0 + 3 - 2 = 1

Como

|A| = 1 \neq 0

, $A$ es invertible. Calculamos los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = 1,\quad A_{12} = -(2 + 1) = -3,\quad A_{13} = 0 - 1 = -1

A_{21} = -(-1 - 0) = 1,\quad A_{22} = 0 - 2 = -2,\quad A_{23} = -(0 + 1) = -1

A_{31} = 1 - 2 = -1,\quad A_{32} = -(0 - 4) = 4,\quad A_{33} = 0 + 2 = 2

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{1}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 3 - 2 & 0 + 2 - 2 & 0 - 4 + 4 \\ 2 - 3 + 1 & 2 - 2 + 1 & -2 + 4 - 2 \\ 1 + 0 - 1 & 1 + 0 - 1 & -1 + 0 + 2 \end{pmatrix} = I

b) Primero

A^2

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 2 + 2 & 0 - 1 + 0 & 0 + 1 + 2 \\ 0 + 2 - 1 & -2 + 1 + 0 & 4 - 1 - 1 \\ 0 + 0 + 1 & -1 + 0 + 0 & 2 + 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Restando

2I

(solo cambia la diagonal):

C = A^2 - 2I = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

A

3\times 3

B

3\times 2

B^t

2\times 3

, así que

BB^t

3\times 3

D = A\,(BB^t)

3\times 3

. Como

A

BB^t

son cuadradas del mismo orden:

|D| = |A|\cdot|BB^t| = 1\cdot|BB^t|

Las columnas de

BB^t

son combinaciones lineales de las dos columnas de

B

, así que

\operatorname{rg}(BB^t) \le \operatorname{rg} B \le 2 < 3

y, por tanto,

|BB^t| = 0

. Lo comprobamos calculándola:

BB^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

|BB^t| = 5\,(1 - 0) - 2\,(2 - 0) + (-1)\,(0 + 1) = 5 - 4 - 1 = 0

Luego

|D| = |A|\cdot|BB^t| = 1\cdot 0 = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En c) es un error grave escribir $|D| = |A|\,|B|\,|B^t|$ : $B$ no es cuadrada y no tiene determinante. La propiedad del producto solo vale para matrices cuadradas del mismo orden, así que agrupa $BB^t$ y razona con su rango (o calcúlala, que es rápido).

En a), justifica que la inversa existe ( $|A| \neq 0$ ) antes de calcularla, y no olvides trasponer la adjunta. Multiplicar $A\cdot A^{-1}$ al final te ahorra perder el punto.