Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre

Enunciado

Se tienen tres urnas

A

B

C

. La urna

A

contiene

4

bolas rojas y

2

negras, la urna

B

contiene

3

bolas de cada color y la urna

C

contiene

6

bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.

c) (0,5 puntos) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea negra.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(R_1) = \frac{7}{18} \approx 0{,}389 \qquad \text{b)}\ P(R_1\cap N_2) = \frac{17}{90} \approx 0{,}189}

\boxed{\text{c)}\ P(N_2\mid R_1) = \frac{17}{35} \approx 0{,}486}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en tres etapas: elegir urna (cada una con probabilidad

\frac13

), sacar la primera bola y sacar la segunda sin devolver la primera. Lo natural es un diagrama de árbol: en cada rama se multiplican las probabilidades y, al final, se suman las ramas que interesan (probabilidad total).

En a) sumamos, urna por urna, la probabilidad de sacar roja primero.
En b) igual, pero con el camino "roja y luego negra"; ojo: tras sacar una roja, en la urna queda una bola menos.
En c) es una condicionada: $P(N_2 \mid R_1) = \dfrac{P(R_1 \cap N_2)}{P(R_1)}$ , y ya tenemos el numerador (b) y el denominador (a).

Desarrollo

Notación.

A

B

C

: se elige esa urna, con

P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}

R_1

: la primera bola es roja;

N_2

: la segunda es negra. Las tres urnas tienen 6 bolas.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(R_1) = P(A)\,P(R_1\mid A) + P(B)\,P(R_1\mid B) + P(C)\,P(R_1\mid C)

P(R_1) = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{6} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{6} + \frac{1}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{6} = \frac{7}{18} \approx 0{,}3889

b) En cada urna, tras sacar una roja quedan 5 bolas:

Urna $A$ : quedan 3 rojas y 2 negras, $P(R_1\cap N_2 \mid A) = \dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{30}$ .
Urna $B$ : quedan 2 rojas y 3 negras, $P(R_1\cap N_2 \mid B) = \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{30}$ .
Urna $C$ : no tiene rojas, $P(R_1\cap N_2 \mid C) = 0$ .

P(R_1 \cap N_2) = \frac{1}{3}\left(\frac{8}{30} + \frac{9}{30} + 0\right) = \frac{17}{90} \approx 0{,}1889

c) Por la definición de probabilidad condicionada:

P(N_2 \mid R_1) = \frac{P(R_1 \cap N_2)}{P(R_1)} = \frac{17/90}{7/18} = \frac{17\cdot 18}{90\cdot 7} = \frac{17}{35} \approx 0{,}4857

Comprobación. Saber que la primera es roja descarta la urna

C

y hace más probable la

A

P(A\mid R_1) = \frac{4/18}{7/18} = \frac{4}{7}

P(B\mid R_1) = \frac{3}{7}

. Entonces

P(N_2\mid R_1) = \frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5} + \frac{3}{7}\cdot\frac{3}{5} = \frac{8 + 9}{35} = \frac{17}{35}

, el mismo valor.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más frecuente es olvidar que la extracción es sin reemplazamiento: la segunda bola se saca de una urna con 5 bolas y una roja menos. Escribe el árbol completo con las tres etapas antes de operar.

En c) no confundas $P(N_2\mid R_1)$ con $P(R_1\cap N_2)$ : la información "la primera es roja" cambia el espacio muestral y hay que dividir entre $P(R_1)$ .