Rectas y planos

Datos de la recta. De la continua, $Q(2, 0, -1) \in r$ y $\vec{v} = (-1, 1, 0)$. En paramétricas:$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = t \\ z = -1 \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}$$$P$ no está en $r$, porque $z_P = 0 \neq -1$.

a) El plano contiene a $Q$ y tiene como direcciones $\vec{v} = (-1,1,0)$ y $\overrightarrow{QP} = (1, 3, 1)$. Su normal:$$\vec{n} = \vec{v} \times \overrightarrow{QP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\,\vec{i} - (-1 - 0)\,\vec{j} + (-3 - 1)\,\vec{k} = (1,\ 1,\ -4)$$Por el punto $Q(2,0,-1)$:$$1(x - 2) + 1(y - 0) - 4(z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x + y - 4z - 6 = 0$$Comprobación: $P$: $3 + 3 - 0 - 6 = 0$; $Q$: $2 + 0 + 4 - 6 = 0$; y $\vec{n}\cdot\vec{v} = -1 + 1 + 0 = 0$, luego $r$ está contenida en $\pi$.

b) Un punto genérico de $r$ es $X_t = (2 - t,\ t,\ -1)$ y$$\overrightarrow{PX_t} = (-1 - t,\ t - 3,\ -1)$$La proyección $M$ es el punto con $\overrightarrow{PX_t} \perp \vec{v}$:$$\overrightarrow{PX_t}\cdot\vec{v} = (1 + t) + (t - 3) + 0 = 2t - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1 \;\Longrightarrow\; M(1,\ 1,\ -1)$$$M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P'$, así que $P' = 2M - P$:$$P' = (2 - 3,\ 2 - 3,\ -2 - 0) = (-1,\ -1,\ -2)$$Comprobación: el punto medio de $P(3,3,0)$ y $P'(-1,-1,-2)$ es $(1,1,-1) = M$, y $\overrightarrow{PP'} = (-4,-4,-2)$ cumple $\overrightarrow{PP'}\cdot\vec{v} = 4 - 4 + 0 = 0$.

c) El ángulo recto está en $A$, así que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{AB}$. Como $A$ y $B$ están en $r$, $\overrightarrow{AB}$ es paralelo a $\vec{v}$; por tanto $\overrightarrow{AP} \perp \vec{v}$ y $A$ es la proyección de $P$ sobre $r$ (el único punto de $r$ con esa propiedad, calculado en b)):$$A = M = (1,\ 1,\ -1), \qquad |\overrightarrow{AP}| = |(2,\ 2,\ 1)| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$$En un triángulo rectángulo el área es la mitad del producto de los catetos:$$\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AP}|\,|\overrightarrow{AB}| = \frac{3}{\sqrt{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}\,|\overrightarrow{AB}| = \frac{3}{\sqrt{2}} \;\Longrightarrow\; |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}$$Escribimos $B = A + \lambda\vec{v}$. Como $|\vec{v}| = \sqrt{2}$, la condición es $|\lambda|\sqrt{2} = \sqrt{2}$, o sea $\lambda = \pm 1$:$$B = A + \vec{v} = (0,\ 2,\ -1) \qquad\text{o}\qquad B = A - \vec{v} = (2,\ 0,\ -1)$$Basta con dar una de las dos soluciones: por ejemplo, $A(1,1,-1)$ y $B(0,2,-1)$.

Comprobación con el producto vectorial: $\overrightarrow{AP} = (2,2,1)$, $\overrightarrow{AB} = (-1,1,0)$,$$\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1,\ -1,\ 4), \qquad \text{Área} = \frac{\sqrt{1 + 1 + 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$y $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} = -2 + 2 + 0 = 0$: el ángulo en $A$ es recto.