Sistemas de ecuaciones

Observación previa. En cualquier matriz con esas dos primeras filas,$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0,$$y ese menor usa solo las dos primeras columnas, así que $\operatorname{rg} M \ge 2$ y $\operatorname{rg} A \ge 2$ siempre.

a) Tomamos como tercera fila la suma de las dos primeras, $F_3 = F_1 + F_2 = (2,3,4,5)$, que no tiene ningún cero:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$Por construcción $F_3 = 1\cdot F_1 + 1\cdot F_2$, luego la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras (y el rango de $A$ es 2).

b) Basta con que algún menor de orden 3 sea no nulo. Probamos con la tercera fila $(1,1,2,1)$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-3) - 1(2-3) + 1(1-2) = 1 + 1 - 1 = 1 \neq 0$$Como hay un menor de orden 3 distinto de cero, $\operatorname{rg} A = 3$: las tres filas son linealmente independientes.

c) La matriz anterior también sirve. Como ampliada, representa el sistema$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 4 \\ x + y + 2z = 1 \end{array}\right.$$El menor calculado en b) es precisamente $|M|$ (las tres primeras columnas), así que $\operatorname{rg} M = 3$. Como $A$ es $3\times 4$, $\operatorname{rg} A \le 3$, luego $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} A = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado por Rouché-Frobenius.

Lo comprobamos resolviéndolo: restando la 1.ª ecuación a la 3.ª queda $z = 0$; entonces $x + y = 1$ y $x + 2y = 4$, de donde $y = 3$, $x = -2$. Sustituyendo: $-2 + 3 + 0 = 1$, $-2 + 6 + 0 = 4$, $-2 + 3 + 0 = 1$. Solución única $(x,y,z) = (-2,3,0)$.

d) Necesitamos $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} A = 2 < 3$. Sirve la matriz de a), con $F_3 = F_1 + F_2$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \;\longleftrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 4 \\ 2x + 3y + 4z = 5 \end{array}\right.$$La tercera fila de $A$ es la suma de las otras dos (también en la columna de términos independientes), así que $\operatorname{rg} A = 2$; y $M$ tiene rango 2 por la observación previa (su tercera fila también es suma de las dos primeras). Entonces $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} A = 2 < 3$ incógnitas: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad. La tercera ecuación sobra; de las dos primeras, restándolas, $y = 3 - 2z$ y $x = -2 + z$, es decir, $(x,y,z) = (-2 + \lambda,\ 3 - 2\lambda,\ \lambda)$, que cumple también la tercera: $2(-2+\lambda) + 3(3-2\lambda) + 4\lambda = 5$.

e) Ahora queremos $\operatorname{rg} M = 2$ pero $\operatorname{rg} A = 3$: los coeficientes de la tercera ecuación son la suma de los de las dos primeras, pero el término independiente no. Cambiamos el 5 por un 6:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \end{pmatrix} \;\longleftrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 4 \\ 2x + 3y + 4z = 6 \end{array}\right.$$En $M$ la tercera fila es $(2,3,4) = (1,1,1) + (1,2,3)$, luego $\operatorname{rg} M = 2$. En $A$, el menor formado por las columnas 1.ª, 2.ª y 4.ª es$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 1(12 - 12) - 1(6 - 8) + 1(3 - 4) = 0 + 2 - 1 = 1 \neq 0,$$así que $\operatorname{rg} A = 3 \neq \operatorname{rg} M = 2$: sistema incompatible. Se ve también a ojo: sumando las dos primeras ecuaciones sale $2x + 3y + 4z = 5$, que contradice la tercera ($= 6$).

En los cuatro ejemplos la tercera fila no tiene ningún cero, como exige el enunciado.