Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Se ha hecho un estudio de un famoso jugador de baloncesto de la ACB y se sabe que tiene una probabilidad de encestar un triple del

60\,\%

. Si realiza 8 tiros a canasta

a) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples.

b) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2.

c) (0,5 puntos) Determine la media y la desviación típica de la distribución.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(X = 5) \approx 0{,}2787 \qquad \text{b)}\ P(X \geq 2) \approx 0{,}9915}

\boxed{\text{c)}\ \mu = 4{,}8, \qquad \sigma = \sqrt{1{,}92} \approx 1{,}386}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada tiro es un ensayo con dos resultados (encesta o no), la probabilidad de encestar es la misma en todos (

p = 0{,}6

) y los tiros son independientes: el número de triples encestados en 8 tiros sigue una distribución binomial

B(8;\ 0{,}6)

.

En a) aplicamos la fórmula

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n - k}

. En b), «al menos 2» tiene muchos casos, así que es más corto pasar al complementario:

1 - P(X = 0) - P(X = 1)

. En c),

\mu = np

\sigma = \sqrt{npq}

Desarrollo

Sea

X

= «número de triples encestados en los 8 tiros». Con

n = 8

p = 0{,}6

q = 1 - p = 0{,}4

X \sim B(8;\ 0{,}6), \qquad P(X = k) = \binom{8}{k}\,0{,}6^k\,0{,}4^{8 - k}, \quad k = 0, 1, \dots, 8

a) Con

k = 5

, y

\binom{8}{5} = \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} = 56

P(X = 5) = 56\cdot 0{,}6^5\cdot 0{,}4^3 = 56\cdot 0{,}07776\cdot 0{,}064 = 0{,}27869184 \approx 0{,}2787

b) «Al menos 2» es

X \geq 2

, cuyo complementario es

X \leq 1

, es decir,

X = 0

X = 1

P(X = 0) = \binom{8}{0}\,0{,}4^8 = 0{,}00065536

P(X = 1) = \binom{8}{1}\,0{,}6\cdot 0{,}4^7 = 8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}0016384 = 0{,}00786432

P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}00065536 - 0{,}00786432 = 0{,}99148032 \approx 0{,}9915

c) Para una binomial

B(n,\ p)

\mu = n\,p = 8\cdot 0{,}6 = 4{,}8 \text{ triples}

\sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4} = \sqrt{1{,}92} = \frac{4\sqrt{3}}{5} \approx 1{,}386 \text{ triples}

Comprobación de sentido. Con un

60\,\%

de acierto lo esperable en 8 tiros es encestar unos 5 (

4{,}8

), así que

P(X = 5) \approx 0{,}28

es la probabilidad más alta de la distribución (por ejemplo,

P(X = 4) \approx 0{,}23

); y fallar 7 u 8 de 8 es muy raro, por eso «al menos 2» es casi seguro.

Consejo

Empieza siempre diciendo qué es $X$ y que sigue una $B(8;\ 0{,}6)$ , justificando por qué es binomial (ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito): ese planteamiento puntúa.

En «al menos 2» no sumes de $P(X = 2)$ a $P(X = 8)$ : pasa al complementario. Y en c) da la desviación típica $\sqrt{npq}$ , no la varianza $npq = 1{,}92$ .