Probabilidad

Sucesos: $A$, $B$, $C$ = «el lote viene de la empresa $A$, $B$, $C$» y $D$ = «el lote es defectuoso». Datos:$$P(A) = 0{,}40, \qquad P(B) = 0{,}25, \qquad P(C) = 1 - 0{,}40 - 0{,}25 = 0{,}35$$$$P(D \mid A) = 0{,}01, \qquad P(D \mid B) = 0{,}02, \qquad P(D \mid C) = 0{,}03$$En el árbol, la primera ramificación es la empresa y la segunda, defectuoso o no:a) Por el teorema de la probabilidad total:$$P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(B)\,P(D \mid B) + P(C)\,P(D \mid C)$$$$P(D) = 0{,}40\cdot 0{,}01 + 0{,}25\cdot 0{,}02 + 0{,}35\cdot 0{,}03 = 0{,}004 + 0{,}005 + 0{,}0105 = 0{,}0195$$b) Nos piden $P(B \mid \overline{D})$. Primero, la probabilidad de que el lote no sea defectuoso:$$P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}0195 = 0{,}9805$$Por el teorema de Bayes:$$P(B \mid \overline{D}) = \frac{P(B)\,P(\overline{D} \mid B)}{P(\overline{D})} = \frac{0{,}25\cdot 0{,}98}{0{,}9805} = \frac{0{,}245}{0{,}9805} = \frac{490}{1961} \approx 0{,}2499$$Comprobación de sentido. Casi todos los lotes son buenos, así que saber que uno no es defectuoso apenas cambia la probabilidad de cada empresa: $0{,}2499$ queda muy cerca del $0{,}25$ inicial (algo por debajo, porque $B$ da más defectuosos que $A$). También se puede comprobar $P(\overline{D})$ sumando las ramas: $0{,}396 + 0{,}245 + 0{,}3395 = 0{,}9805$.