Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Resuelva la integral

\int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2}\,dx.

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Resultado

\boxed{\int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2}\,dx = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C}

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Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, así que no hace falta dividir. Factorizamos el denominador, que tiene dos raíces reales simples, y descomponemos la fracción en fracciones simples: cada una se integra como un logaritmo neperiano.

Desarrollo

Factorizamos el denominador. Sus raíces son

x^2 + x - 2 = 0 \iff x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \iff x = 1 \ \text{o}\ x = -2

luego

x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

.

Descomponemos en fracciones simples:

\frac{-x + 7}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \quad\Longrightarrow\quad -x + 7 = A\,(x + 2) + B\,(x - 1)

Damos a

x

los valores de las raíces:

$x = 1$ : $\ -1 + 7 = 3A \ \Longrightarrow\ A = 2$ .
$x = -2$ : $\ 2 + 7 = -3B \ \Longrightarrow\ B = -3$ .

Integramos cada fracción, que es inmediata de tipo logaritmo:

\int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2}\,dx = \int \frac{2}{x - 1}\,dx - \int \frac{3}{x + 2}\,dx = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C

Si se quiere, con las propiedades de los logaritmos:

\ln\dfrac{(x - 1)^2}{|x + 2|^3} + C

.

Comprobación. Derivamos el resultado:

\frac{d}{dx}\Bigl(2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2|\Bigr) = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2}

Coincide con el integrando. ✓

Consejo

Para hallar $A$ y $B$ es más rápido dar a $x$ los valores de las raíces que igualar coeficientes: cada sustitución anula un sumando y deja una incógnita sola.

No olvides el valor absoluto dentro del logaritmo ni la constante $C$ , y comprueba derivando: es un minuto y te asegura los dos puntos.