Integrales

a) Puntos de corte entre las dos curvas:$$x^2 - 4x + 1 = -x + 1 \iff x^2 - 3x = 0 \iff x\,(x - 3) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = 3$$Los puntos son $(0,\ 1)$ y $(3,\ -2)$.

Parábola $f(x) = x^2 - 4x + 1$: se abre hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo) y su vértice está en $x = \frac{4}{2} = 2$, con $f(2) = -3$: vértice $(2,\ -3)$. Corta al eje $OY$ en $(0,\ 1)$ y al eje $OX$ en $x = 2 \pm \sqrt{3}$ ($x \approx 0{,}27$ y $x \approx 3{,}73$).

Recta $g(x) = -x + 1$: pendiente $-1$, pasa por $(0,\ 1)$ y $(1,\ 0)$.La región es la «lente» comprendida entre $x = 0$ y $x = 3$: por arriba la limita la recta y por abajo el arco de la parábola que pasa por el vértice $(2, -3)$. La recta va por encima en todo el intervalo, como se ve en la tabla (por ejemplo, en $x = 1$, $g(1) = 0 > f(1) = -2$).

b) Como $g(x) \geq f(x)$ en $[0, 3]$:$$\text{Área} = \int_0^3 \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_0^3 \bigl[(-x + 1) - (x^2 - 4x + 1)\bigr]\,dx = \int_0^3 \left(-x^2 + 3x\right)dx$$Una primitiva es $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$. Por la regla de Barrow:$$\text{Área} = F(3) - F(0) = \left(-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}\right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ u}^2$$Comprobación. El resultado es positivo, como debe ser un área, y razonable: la distancia vertical entre las curvas llega a $\frac{9}{4}$ en $x = \frac{3}{2}$ y el intervalo mide 3; dos tercios del rectángulo $3 \cdot \frac{9}{4}$ (área de un segmento parabólico) dan justo $\frac{9}{2}$.