Límites y continuidad

a) Si $x \neq 0$, $f(x) = \frac{1 - e^x}{x}$ es continua (cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero). Estudiamos $x = 0$:$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = \frac{1 - 1}{0} = \left[\frac{0}{0}\right]$$Numerador y denominador son derivables y se anulan en $0$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{1} = -e^0 = -1$$Para que $f$ sea continua en $x = 0$ tiene que cumplirse $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, es decir:$$a = -1$$Con ese valor la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

b) En un entorno de $x = 1$ la función es $f(x) = \frac{1 - e^x}{x}$. Su valor en el punto:$$f(1) = \frac{1 - e}{1} = 1 - e$$Derivamos con la regla del cociente (para $x \neq 0$):$$f'(x) = \frac{(-e^x)\cdot x - (1 - e^x)\cdot 1}{x^2} = \frac{e^x - x\,e^x - 1}{x^2}$$$$f'(1) = \frac{e - e - 1}{1} = -1$$Recta tangente en $x = 1$:$$y - (1 - e) = -1\cdot(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2 - e$$Comprobación. En $x = 1$ la recta da $y = -1 + 2 - e = 1 - e = f(1)$ ✓, y su pendiente es $-1 = f'(1)$. Aproximadamente, $y \approx -x - 0{,}718$.