Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función

f(x) = e^x\,(x^2 - x + 1)

.

b) (1 punto) Justifique si existe algún valor de

x

tal que

f(x) = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Crece en } (-\infty, -1) \cup (0, +\infty),\ \text{decrece en } (-1, 0);\ \text{máx. } \left(-1, \tfrac{3}{e}\right),\ \text{mín. } (0, 1)}

\boxed{\text{b) Sí: por Bolzano en } [0, 1],\ \exists\, c \in (0, 1) \text{ con } f(c) = 2 \ (\text{único},\ c \approx 0{,}839)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) derivamos con la regla del producto, sacamos factor común

e^x

y estudiamos el signo de

f'

: como

e^x > 0

siempre, el signo lo decide un polinomio de grado 2. Donde

f'

cambia de signo hay un extremo relativo.

En b) no hace falta resolver la ecuación (no se puede despejar

x

): basta con el teorema de Bolzano aplicado a

g(x) = f(x) - 2

en un intervalo en cuyos extremos

g

cambie de signo. Con la monotonía de a) podemos decir además que la solución es única.

Desarrollo

La función es producto de una exponencial y un polinomio, así que es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

.

a) Derivamos con la regla del producto:

f'(x) = e^x\,(x^2 - x + 1) + e^x\,(2x - 1) = e^x\,(x^2 + x) = x\,(x + 1)\,e^x

Como

e^x > 0

para todo

x

f'(x) = 0 \iff x\,(x + 1) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = -1

Estudiamos el signo de

f'

en cada intervalo (tomamos un valor de prueba en cada uno):

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, +\infty)$
$x$	$-$	$-$	$+$
$x + 1$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Por ejemplo,

f'(-2) = 2e^{-2} > 0

f'\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}e^{-1/2} < 0

f'(1) = 2e > 0

Crece en $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$ y decrece en $(-1, 0)$ .
En $x = -1$ , $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $\left(-1,\ \frac{3}{e}\right)$ , porque $f(-1) = e^{-1}(1 + 1 + 1) = \frac{3}{e} \approx 1{,}104$ .
En $x = 0$ , $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(0,\ 1)$ , porque $f(0) = e^0\cdot 1 = 1$ .

b) Sea

g(x) = f(x) - 2 = e^x\,(x^2 - x + 1) - 2

. Buscamos un

c

con

g(c) = 0

$g$ es continua en $\mathbb{R}$ (exponencial por polinomio, menos una constante); en particular, en $[0, 1]$ .
$g(0) = 1 - 2 = -1 < 0$ .
$g(1) = e\,(1 - 1 + 1) - 2 = e - 2 \approx 0{,}718 > 0$ .

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, así que existe

c \in (0, 1)

con

g(c) = 0

, es decir, sí existe un valor

x = c

con

f(c) = 2

.

Además es el único. En

(0, +\infty)

la función es estrictamente creciente, así que solo pasa una vez por el valor 2. Y en

(-\infty, 0]

no lo alcanza: ahí el valor más alto es el máximo relativo

f(-1) = \frac{3}{e} \approx 1{,}10 < 2

(a la izquierda de

-1

la función crece y entre

-1

0

decrece). Numéricamente,

c \approx 0{,}839

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) nombra la función auxiliar $g(x) = f(x) - 2$ y escribe las tres cosas: continuidad en el intervalo cerrado, $g(0) < 0$ y $g(1) > 0$ . Sin la continuidad, la conclusión no vale.

En a) no olvides dar los extremos como puntos, con su ordenada: $\left(-1, \frac{3}{e}\right)$ y $(0, 1)$ .