Matemáticas IIFácil2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Vectores y ángulos

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son

A(1, 3, -2)

B(4, 3, 1)

C(1, 0, 1)

como podemos observar en la siguiente representación:

Paralelogramo ABCD sombreado, con los vértices en orden A, B, C y D: B arriba a la derecha, C arriba a la izquierda, D abajo a la izquierda y A abajo a la derecha; D es el vértice opuesto a B

a) (1 punto) Calcule el cuarto vértice D.

b) (1 punto) Calcule el área del paralelogramo.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ D = (-2,\ 0,\ -2)}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \text{ u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un paralelogramo

ABCD

los lados opuestos son vectores iguales:

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

. De ahí sale

D = A + \overrightarrow{BC}

, y lo comprobamos con que las diagonales se cortan en su punto medio.

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los dos vectores que salen de un mismo vértice, por ejemplo

\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{BC}

Desarrollo

a) Como

A

B

C

son consecutivos, el cuarto vértice

D

es el opuesto a

B

y cumple

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 4,\ 0 - 3,\ 1 - 1) = (-3,\ -3,\ 0)

D = A + \overrightarrow{BC} = (1 - 3,\ 3 - 3,\ -2 + 0) = (-2,\ 0,\ -2)

Comprobación. Las diagonales

AC

BD

de un paralelogramo se cortan en su punto medio:

M_{AC} = \left(\frac{1 + 1}{2},\ \frac{3 + 0}{2},\ \frac{-2 + 1}{2}\right) = \left(1,\ \frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}\right), \qquad M_{BD} = \left(\frac{4 - 2}{2},\ \frac{3 + 0}{2},\ \frac{1 - 2}{2}\right) = \left(1,\ \frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}\right)

Coinciden. ✓

b) Tomamos los dos lados que salen de

B

\overrightarrow{BA} = A - B = (-3,\ 0,\ -3), \qquad \overrightarrow{BC} = (-3,\ -3,\ 0)

\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -3 & 0 & -3 \\ -3 & -3 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 9)\,\vec i - (0 - 9)\,\vec j + (9 - 0)\,\vec k = (-9,\ 9,\ 9)

El área es el módulo de ese vector:

\text{Área} = \left|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}\right| = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + 9^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \text{ u}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en el orden de los vértices: con $A$ , $B$ , $C$ consecutivos, $D$ es el opuesto a $B$ y $D = A + C - B$ . Si haces $D = A + B - C$ obtienes otro paralelogramo, no el del dibujo.

El área del paralelogramo es $|\vec u \times \vec v|$ entero; el triángulo $ABC$ es la mitad. No dividas entre 2 por inercia.