Rectas y planos

De la ecuación continua de $r$:$$P_r = (0,\ 2,\ 1), \qquad \vec u = (3,\ -3,\ 3)$$y del plano $\Pi:\ 2x + y - z - 2 = 0$, el vector normal $\vec n = (2,\ 1,\ -1)$.

a) Producto escalar del director de la recta por el normal del plano:$$\vec u \cdot \vec n = 3\cdot 2 + (-3)\cdot 1 + 3\cdot(-1) = 6 - 3 - 3 = 0$$Luego $\vec u \perp \vec n$: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos si $P_r$ está en $\Pi$:$$2\cdot 0 + 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad P_r \notin \Pi$$Como la recta tiene un punto fuera del plano, no puede estar contenida en él: la recta $r$ es paralela al plano $\Pi$.

(Con ecuaciones paramétricas se llega a lo mismo: $x = 3t$, $y = 2 - 3t$, $z = 1 + 3t$ en el plano da $6t + 2 - 3t - 1 - 3t - 2 = -1 = 0$, que no se cumple para ningún $t$: no hay puntos comunes.)

b) Como $r \parallel \Pi$, la distancia de la recta al plano es la de cualquiera de sus puntos, por ejemplo $P_r$:$$d(r, \Pi) = d(P_r, \Pi) = \frac{|2\cdot 0 + 1\cdot 2 - 1\cdot 1 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0{,}408 \text{ u}$$