Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda + 3 & -2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & -1 & 1 \\ -\lambda & 1 & 0 & \lambda \\ 0 & \lambda + 3 & -2 & 4 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera columna (tiene un cero):$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \lambda + 3 & -2 \end{vmatrix} - (-\lambda)\cdot\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ \lambda + 3 & -2 \end{vmatrix} = -2 + \lambda\bigl(-2\lambda + \lambda + 3\bigr) = -\lambda^2 + 3\lambda - 2$$$$|A| = 0 \iff \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \iff \lambda = \frac{3 \pm 1}{2} \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = 2$$Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 4 \end{array}\right)$$Como $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = 0$$(tiene dos columnas iguales), y el otro menor de orden 3 que contiene a ese menor es $|A| = 0$. Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). De hecho, la tercera ecuación es el doble de la suma de las dos primeras: $2\,(F_1 + F_2) = (0,\ 4,\ -2 \mid 4) = F_3$.

Caso $\lambda = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -2 & 4 \end{array}\right)$$Como $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot(4 - 10) - 2\cdot(-8 - 0) + 1\cdot(-10 - 0) = -6 + 16 - 10 = 0$$y el otro menor que contiene a ese menor es $|A| = 0$. Así $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado. Aquí $F_3 = 2F_1 + F_2$: $(2 - 2,\ 4 + 1,\ -2 + 0 \mid 2 + 2) = (0,\ 5,\ -2 \mid 4)$.

Comprobación. En los dos casos críticos hay soluciones de verdad. Con $\lambda = 1$, $\left(\frac{t}{2},\ \frac{t}{2} + 1,\ t\right)$: primera ecuación, $\frac{t}{2} + \frac{t}{2} + 1 - t = 1$ ✓. Con $\lambda = 2$, $\left(\frac{t - 3}{5},\ \frac{2t + 4}{5},\ t\right)$: primera ecuación, $\frac{t - 3 + 4t + 8 - 5t}{5} = 1$ ✓.