Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2020 · Junio

Enunciado

Dada la matriz

\begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

a) (1 punto) Estudie los valores de

k \in \mathbb{R}

para los que la matriz tiene inversa.

b) (1 punto) Calcule la inversa para

k = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \exists\, M^{-1} \iff k \neq -1 \ \text{y}\ k \neq 2 \quad (|M| = k^2 - k - 2)}

\boxed{\text{b)}\ M^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En a) calculamos el determinante en función de

k

y vemos qué valores lo anulan: para todos los demás hay inversa.

En b),

k = 1

no anula el determinante, así que la inversa existe y la calculamos con la fórmula de los adjuntos:

M^{-1} = \frac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t

Desarrollo

Llamamos

M

a la matriz del enunciado.

a) Desarrollamos el determinante por la primera fila:

|M| = 1\cdot\begin{vmatrix} -k & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-1)\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + k\cdot\begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix}

|M| = (k + 1) + (-2 - 1) + k(-2 + k) = k + 1 - 3 - 2k + k^2 = k^2 - k - 2

|M| = 0 \iff k^2 - k - 2 = 0 \iff k = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \iff k = 2 \ \text{o}\ k = -1

Es decir,

|M| = (k - 2)(k + 1)

Si $k \neq 2$ y $k \neq -1$ , $|M| \neq 0$ : la matriz es regular y tiene inversa.
Si $k = 2$ o $k = -1$ , $|M| = 0$ : la matriz es singular y no tiene inversa.

b) Con

k = 1

M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |M| = 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0

Calculamos los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}

, donde

\alpha_{ij}

es el menor que queda al quitar la fila

i

y la columna

j

A_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 2, \qquad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3, \qquad A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2, \qquad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2, \qquad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \qquad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1, \qquad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1

La matriz adjunta y su traspuesta son

\operatorname{Adj} M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} M)^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

y dividiendo entre

|M| = -2

M^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Comprobación. Multiplicamos

M \cdot M^{-1}

fila por columna:

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Por ejemplo, la primera fila por la primera columna da

-1 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1

y la tercera fila por la segunda columna,

1 - 1 + 0 = 0

. ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más frecuente en b) es olvidar trasponer la adjunta o los signos $(-1)^{i+j}$ de los adjuntos. Dibuja el tablero de signos $+\,-\,+$ antes de empezar.

Termina siempre multiplicando $M \cdot M^{-1}$ : con dos o tres productos fila por columna ves en un momento si te has equivocado en algún adjunto.