Distribución normal

Sea $X$ = «radio del pistón, en cm», con $X \sim N(\mu = 5;\ \sigma = 0{,}01)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos:$$z = \frac{5{,}01 - 5}{0{,}01} = \frac{0{,}01}{0{,}01} = 1$$$$P(X > 5{,}01) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$$b) Tipificamos los dos extremos:$$z_1 = \frac{4{,}98 - 5}{0{,}01} = -2, \qquad z_2 = \frac{5 - 5}{0{,}01} = 0$$$$P(4{,}98 < X < 5) = P(-2 < Z < 0) = P(Z < 0) - P(Z < -2)$$Por la simetría, $P(Z < -2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$, y $P(Z < 0) = 0{,}5$:$$P(4{,}98 < X < 5) = 0{,}5 - 0{,}0228 = 0{,}4772$$(Equivalentemente, por simetría, $P(-2 < Z < 0) = P(0 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}5$.)

Comprobación de sentido. En a), 5,01 cm está a una desviación típica por encima de la media: queda por encima alrededor del 16 % de los pistones, lo conocido para una normal. En b), entre dos desviaciones por debajo de la media y la media está casi la mitad de la distribución (la mitad de la «regla del 95 %»): $0{,}4772$ encaja.