Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2020 · Septiembre

Enunciado

Calcule la integral

\int \frac{3x}{x^2 - x - 2}\,dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\int \frac{3x}{x^2 - x - 2}\,dx = 2\ln|x - 2| + \ln|x + 1| + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, así que no hace falta dividir. El denominador tiene dos raíces reales simples,

x = 2

x = -1

: descomponemos en fracciones simples

\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

, hallamos

A

B

y cada sumando se integra como un logaritmo.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^2 - x - 2 = 0 \iff x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \iff x = 2 \ \text{o}\ x = -1

luego

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

.

Fracciones simples.

\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} \;\Longrightarrow\; 3x = A(x + 1) + B(x - 2)

Dando a

x

los valores de las raíces:

x = 2:\quad 6 = 3A \;\Longrightarrow\; A = 2, \qquad x = -1:\quad -3 = -3B \;\Longrightarrow\; B = 1

\frac{3x}{x^2 - x - 2} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1}

Integración. Cada sumando es inmediato, de tipo logaritmo:

\int \frac{3x}{x^2 - x - 2}\,dx = 2\int \frac{dx}{x - 2} + \int \frac{dx}{x + 1} = 2\ln|x - 2| + \ln|x + 1| + C

que también se puede escribir como

\ln\bigl|(x - 2)^2(x + 1)\bigr| + C

.

Comprobación. Derivando:

\frac{d}{dx}\Bigl(2\ln|x - 2| + \ln|x + 1|\Bigr) = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + (x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{3x}{x^2 - x - 2}\ ✓

Consejo

En las racionales con raíces reales simples, el modo más rápido de hallar $A$ y $B$ es dar a $x$ el valor de cada raíz en $3x = A(x + 1) + B(x - 2)$ : cada valor anula un sumando y despeja el otro.

No olvides el valor absoluto dentro del logaritmo ni la constante $C$ , y comprueba derivando.