Integrales

a) Puntos de corte.$$1 - x^2 = -3 \iff x^2 = 4 \iff x = -2 \ \text{o}\ x = 2$$Las gráficas se cortan en $(-2, -3)$ y $(2, -3)$.

La parábola $y = 1 - x^2$ tiene el vértice en $(0, 1)$ (pues $f'(x) = -2x$ se anula en $x = 0$ y es un máximo), corta al eje $X$ en $x = \pm 1$ y es simétrica respecto del eje $Y$. La recta $y = -3$ es horizontal.

La región encerrada es el «casquete» de parábola que queda por encima de la recta $y = -3$, entre $x = -2$ y $x = 2$: está limitada por arriba por la parábola (que llega hasta $y = 1$ en $x = 0$) y por abajo por el segmento de la recta $y = -3$. En ese intervalo la parábola va por encima; por ejemplo, en $x = 0$, $f(0) = 1 > -3 = g(0)$.

b) El área es$$S = \int_{-2}^{2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx = \int_{-2}^{2} \bigl(1 - x^2 + 3\bigr)\,dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx$$Una primitiva de $4 - x^2$ es $F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3}$. Por la regla de Barrow:$$S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\ \text{u}^2 \approx 10{,}67\ \text{u}^2$$Comprobación. El recinto es un segmento parabólico de base $4$ (de $x = -2$ a $x = 2$) y altura $4$ (de $y = -3$ a $y = 1$). Por la fórmula de Arquímedes su área es $\frac{2}{3}$ del rectángulo que lo contiene: $\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{32}{3}$ ✓.