Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2020 · Septiembre
Enunciado
Calcule los valores de aa y bb sabiendo que la siguiente función f(x)f(x) es derivable en todo su dominio:f(x)={2x2+ax+bsi x≤1−2+ln⁡(x)si x>1f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{array}\right.
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Resultado
a=−3,b=−1\boxed{a = -3, \qquad b = -1}
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Estrategia

Cada trozo es derivable en su intervalo (un polinomio en (−∞,1)(-\infty, 1) y −2+ln⁡x-2 + \ln x en (1,+∞)(1, +\infty), donde el logaritmo está definido), así que todo se juega en el punto de unión x=1x = 1. Ser derivable allí exige dos cosas: que ff sea continua en x=1x = 1 (los límites laterales coinciden con f(1)f(1)) y que las derivadas laterales coincidan. Cada condición es una ecuación en aa y bb, y el sistema las determina.
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Desarrollo

Dominio y derivabilidad fuera de x=1x = 1. Para x≤1x \leq 1 la función es un polinomio, definido en todo punto; para x>1x > 1, ln⁡x\ln x está definido. Así que Dom⁡f=R\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}. En (−∞,1)(-\infty, 1) y en (1,+∞)(1, +\infty) ff es derivable, conf′(x)={4x+asi x<11xsi x>1f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 4x + a & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{array}\right.Continuidad en x=1x = 1 (necesaria para que sea derivable):f(1)=lim⁡x→1−f(x)=2+a+b,lim⁡x→1+f(x)=−2+ln⁡1=−2f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 + a + b, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = -2 + \ln 1 = -22+a+b=−2  ⟹  a+b=−42 + a + b = -2 \;\Longrightarrow\; a + b = -4Derivadas laterales en x=1x = 1 (con ff continua en x=1x = 1 se obtienen como los límites laterales de f′f'):f′(1−)=4⋅1+a=4+a,f′(1+)=11=1f'(1^-) = 4 \cdot 1 + a = 4 + a, \qquad f'(1^+) = \frac{1}{1} = 14+a=1  ⟹  a=−34 + a = 1 \;\Longrightarrow\; a = -3Y entonces, de la condición de continuidad, b=−4−a=−4+3=−1b = -4 - a = -4 + 3 = -1.

Comprobación. Con a=−3a = -3 y b=−1b = -1 el primer trozo es 2x2−3x−12x^2 - 3x - 1:
  • En x=1x = 1 vale 2−3−1=−22 - 3 - 1 = -2, igual que −2+ln⁡1=−2-2 + \ln 1 = -2 ✓ (continua).
  • Su derivada 4x−34x - 3 vale 11 en x=1x = 1, igual que 1x\frac{1}{x} en x=1x = 1 ✓ (derivable, con f′(1)=1f'(1) = 1).
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Consejo

Derivable implica continua: primero impón la continuidad en el punto de unión y después la igualdad de las derivadas laterales. Solo con la segunda condición te falta una ecuación para hallar bb.

No olvides decir por qué cada trozo es derivable en su intervalo abierto; el punto de unión es el único que hay que estudiar, pero hay que mencionarlo.
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