Derivadas y aplicaciones

a) Dominio. $1 + x^2 \geq 1 > 0$ para todo $x$, luego $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$ y $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Asíntotas verticales. No hay: el denominador no se anula nunca.

Asíntotas horizontales.$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{1 + x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4/x}{1/x^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. Para $x > 0$ la función es positiva (se acerca a la asíntota por encima) y para $x < 0$, negativa (por debajo).

Asíntotas oblicuas. No hay, porque ya tiene asíntota horizontal en los dos sentidos.

Monotonía. Por la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{4(1 + x^2) - 4x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{4(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$$El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de $4(1 - x^2)$, que se anula en $x = -1$ y $x = 1$:$f$ es decreciente en $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ y creciente en $(-1, 1)$.

Extremos relativos. En $x = -1$ la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo, con $f(-1) = \frac{-4}{2} = -2$. En $x = 1$ pasa de positiva a negativa: máximo relativo, con $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.$$\text{Mínimo relativo en } (-1, -2), \qquad \text{máximo relativo en } (1, 2)$$b) Para el dibujo reunimos lo anterior y dos datos más:

• Cortes con los ejes: $f(x) = 0 \iff x = 0$; la gráfica pasa por el origen y es el único corte.
• Simetría: $f(-x) = \frac{-4x}{1 + x^2} = -f(x)$; la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen (por eso el mínimo y el máximo son simétricos).

Algunos valores: $f(-3) = -\frac{6}{5}$, $f(-1) = -2$, $f(0) = 0$, $f(1) = 2$, $f(3) = \frac{6}{5}$.

La gráfica viene desde la izquierda pegada al eje $X$ por debajo, baja hasta el mínimo $(-1, -2)$, sube pasando por el origen hasta el máximo $(1, 2)$ y vuelve a bajar acercándose al eje $X$ por encima, sin llegar a tocarlo. Toda ella queda entre las rectas $y = -2$ e $y = 2$.