Rectas y planos

Ecuación de $\Pi_1$. Con $P(0, 1, 1)$, $Q(2, 0, 2)$ y $R(1, 2, 6)$:$$\overrightarrow{PQ} = (2, -1, 1), \qquad \overrightarrow{PR} = (1, 1, 5)$$$$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (-5 - 1,\ 1 - 10,\ 2 + 1) = (-6, -9, 3)$$Tomamos como normal el vector proporcional $\vec n_1 = (2, 3, -1)$. El plano es $2x + 3y - z = D$ y, como pasa por $P$, $D = 0 + 3 - 1 = 2$:$$\Pi_1:\ 2x + 3y - z = 2$$Comprobamos con los otros dos puntos: $Q$: $4 + 0 - 2 = 2$ ✓; $R$: $2 + 6 - 6 = 2$ ✓.

Los planos se cortan. $\vec n_1 = (2, 3, -1)$ y $\vec n_2 = (1, -1, 1)$ no son proporcionales ($\frac{2}{1} \neq \frac{3}{-1}$), así que $\Pi_1$ y $\Pi_2$ son secantes y las rectas paralelas a los dos son las que tienen la dirección de su recta de corte.

Vector director. Debe ser perpendicular a $\vec n_1$ y a $\vec n_2$:$$\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (3 - 1,\ -1 - 2,\ -2 - 3) = (2, -3, -5)$$Comprobación: $\vec d \cdot \vec n_1 = 4 - 9 + 5 = 0$ ✓ y $\vec d \cdot \vec n_2 = 2 + 3 - 5 = 0$ ✓.

Un punto fuera de los dos planos. El origen $O(0, 0, 0)$ sirve: en $\Pi_1$ daría $0 \neq 2$ y en $\Pi_2$, $0 \neq 3$.

La recta. La que pasa por $O$ con director $\vec d$:$$r:\ (x, y, z) = (0, 0, 0) + t\,(2, -3, -5), \qquad \text{es decir,} \qquad \frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5}$$Por qué cumple lo pedido. Su director es perpendicular a los dos vectores normales, así que $r$ es paralela a $\Pi_1$ y a $\Pi_2$ (o está contenida en ellos). Y no puede estar contenida en ninguno, porque uno de sus puntos, $O$, no pertenece a ninguno de los dos planos. Una recta paralela a un plano y con un punto fuera de él no lo toca nunca.

(Hay infinitas respuestas: vale cualquier punto que no esté en $\Pi_1$ ni en $\Pi_2$ con ese mismo director.)