Sean los vectores \vec u = (4, 3, \alpha), \vec v = (\alpha, 1, 0) y \vec w = (2\alpha, 1, \alpha) (con \alpha \in \mathbb{R}). a) (1 punto) Determine los valores de \alpha para que \vec u, \vec v y \vec w sean linealmente independientes. b) (1 punto) Para el valor \alpha = 1 exprese \vec w como combinación lineal de \vec u y \vec v.

Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Extremadura · 2020 · Septiembre

Enunciado

Sean los vectores

\vec u = (4, 3, \alpha)

\vec v = (\alpha, 1, 0)

\vec w = (2\alpha, 1, \alpha)

(con

\alpha \in \mathbb{R}

).

a) (1 punto) Determine los valores de

\alpha

para que

\vec u

\vec v

\vec w

sean linealmente independientes.

b) (1 punto) Para el valor

\alpha = 1

exprese

\vec w

como combinación lineal de

\vec u

\vec v

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Linealmente independientes} \iff \alpha \neq 0 \ \text{y}\ \alpha \neq 1}

\boxed{\text{b) } \vec w = \vec u - 2\,\vec v}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres vectores de

\mathbb{R}^3

son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz que forman es distinto de cero (su rango es 3). Calculamos ese determinante en función de

\alpha

y excluimos los valores que lo anulan.

En b) escribimos

\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v

, igualamos coordenada a coordenada y resolvemos el sistema que sale (tres ecuaciones y dos incógnitas, que debe ser compatible porque con

\alpha = 1

los vectores son dependientes).

Desarrollo

a) Determinante de la matriz que tiene por filas los tres vectores, desarrollado por la tercera columna:

\begin{vmatrix} 4 & 3 & \alpha \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2\alpha & 1 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha\begin{vmatrix} \alpha & 1 \\ 2\alpha & 1 \end{vmatrix} - 0 + \alpha\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} = \alpha(\alpha - 2\alpha) + \alpha(4 - 3\alpha)

= -\alpha^2 + 4\alpha - 3\alpha^2 = 4\alpha - 4\alpha^2 = 4\alpha(1 - \alpha)

Se anula si y solo si

\alpha = 0

\alpha = 1

. Por tanto:

Si $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 1$ , el determinante no es nulo, el rango es 3 y los vectores son linealmente independientes.
Si $\alpha = 0$ o $\alpha = 1$ , el rango es menor que 3 y son linealmente dependientes. (Por ejemplo, con $\alpha = 0$ : $\vec v = (0, 1, 0)$ y $\vec w = (0, 1, 0)$ son iguales.)

b) Con

\alpha = 1

\vec u = (4, 3, 1)

\vec v = (1, 1, 0)

\vec w = (2, 1, 1)

. Buscamos

a, b

con

\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v

(2, 1, 1) = a(4, 3, 1) + b(1, 1, 0) \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} 4a + b = 2 \\ 3a + b = 1 \\ a = 1 \end{array}\right.

La tercera ecuación da

a = 1

; la segunda,

b = 1 - 3 = -2

; y la primera se cumple:

4 - 2 = 2

✓. Así,

\vec w = \vec u - 2\vec v

Comprobación.

\vec u - 2\vec v = (4, 3, 1) - (2, 2, 0) = (2, 1, 1) = \vec w

✓.

Consejo

El determinante decide la independencia de tres vectores de $\mathbb{R}^3$ : distinto de cero, independientes; cero, dependientes. Desarrolla por la fila o columna con más ceros para no equivocarte con el parámetro.

En b), comprueba la combinación lineal sumando los vectores: es un minuto y asegura el punto.