Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda \\ \lambda & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 0 + \lambda\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \lambda & -1 \end{vmatrix} = (1 + \lambda) + \lambda(-1 - \lambda) = 1 - \lambda^2$$$$|A| = 0 \iff \lambda^2 = 1 \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = -1$$Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ y $|A| = 0$ dan $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, la columna de términos independientes es igual que la primera columna. Por eso los menores de orden 3 de $A^*$ que contienen la columna 1 y la 4 tienen dos columnas iguales, y el formado por las columnas 2, 3 y 4 es el mismo que el de las columnas 2, 3 y 1, es decir, $\pm|A|$: todos valen $0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

Caso $\lambda = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$$\operatorname{rg}(A) = 2$, pues $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 + 1) - 0 + 1\cdot(-1 + 1) = 2 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también sumando las dos últimas ecuaciones: $(x + y - z) + (-x - y + z) = 0$, mientras que $1 + 1 = 2$.

b) Con $\lambda = 1$ (compatible indeterminado) el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x - y + z = 1 \end{array}\right.$$Restando la primera a la segunda, $y = 0$; la tercera queda entonces $x + z = 1$, igual que la primera. Tomando $z = t$ como parámetro:$$x = 1 - t, \qquad y = 0, \qquad z = t, \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. $(1 - t) + t = 1$ ✓; $(1 - t) + 0 + t = 1$ ✓; $(1 - t) - 0 + t = 1$ ✓.