Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2020 · Septiembre

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}

.

a) (1 punto) Calcule los productos de matrices

A \cdot B

B \cdot A

. ¿Se cumple que

A \cdot B = B \cdot A

?

b) (1 punto) Compruebe si es cierta la igualdad

(A + B)^2 = A^2 + B^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } AB = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix},\ BA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}:\ AB \neq BA}

\boxed{\text{b) No: } (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} \neq A^2 + B^2 = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es aplicar la regla del producto de matrices (fila por columna) en los dos órdenes y comparar elemento a elemento.

En b) lo más limpio es desarrollar el cuadrado: como el producto de matrices no es conmutativo,

(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2

, así que la igualdad del enunciado es cierta solo si

AB + BA = 0

. Con lo calculado en a) se decide al momento; aun así, conviene comprobarlo también calculando los dos miembros.

Desarrollo

a) Multiplicamos fila por columna:

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4 & 1 + 1 \\ 2 + 4 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}

B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 1 \\ 4 - 2 & -4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}

Basta un elemento distinto para que dos matrices sean distintas: el

(1,1)

vale

-3

AB

3

BA

. Por tanto, $A \cdot B \neq B \cdot A$ : estas matrices no conmutan.

b) Desarrollamos el cuadrado respetando el orden de los factores:

(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + A B + B A + B^2

Luego

(A+B)^2 = A^2 + B^2

si y solo si

AB + BA = 0

. Con los resultados de a):

A B + B A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -4 \end{pmatrix} \neq 0

así que la igualdad no es cierta.

Comprobación directa. Calculamos los dos miembros:

A + B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}, \qquad (A + B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 1 - 2 & -1 - 1 \\ 2 + 2 & -2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B^2 = \begin{pmatrix} 1 + 4 & 1 - 1 \\ 4 - 4 & 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

A^2 + B^2 = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} = (A + B)^2

La diferencia entre las dos es exactamente

AB + BA

\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -4 \end{pmatrix}

✓.

Consejo

Con matrices, $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ es falso en general: el término central es $AB + BA$ , y solo vale $2AB$ cuando $A$ y $B$ conmutan. Por eso el apartado b) va detrás del a).

Para justificar que dos matrices son distintas basta con señalar un elemento que no coincide; no hace falta compararlas enteras, pero sí decirlo con palabras.