Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,6, 0,3 y 0,1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,4 para los de tonelaje medio y 0,6 para los de tonelaje alto.

a) (1 punto) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento.

b) (1 punto) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(M) = 0{,}33}

\boxed{\text{b)}\ P(T_M \mid M) = \frac{0{,}12}{0{,}33} = \frac{4}{11} \approx 0{,}3636}

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Estrategia

Es el esquema clásico de un experimento en dos etapas: primero el tonelaje del barco (tres casos que no se solapan y cubren todas las posibilidades) y después si necesita mantenimiento, con una probabilidad que depende del tonelaje. Lo organizamos en un diagrama de árbol. En a) sumamos las ramas que acaban en mantenimiento (teorema de la probabilidad total); en b) nos dan el resultado de la segunda etapa y preguntan por la primera, así que es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Definimos los sucesos

B

= «tonelaje bajo»,

T_M

= «tonelaje medio»,

A

= «tonelaje alto» y

M

= «necesita mantenimiento». Los datos son

P(B) = 0{,}6, \qquad P(T_M) = 0{,}3, \qquad P(A) = 0{,}1

P(M \mid B) = 0{,}25, \qquad P(M \mid T_M) = 0{,}4, \qquad P(M \mid A) = 0{,}6

B

T_M

A

son incompatibles dos a dos y su unión es el suceso seguro (

0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}1 = 1

): forman un sistema completo de sucesos.

Diagrama de árbol (primera etapa, el tonelaje; segunda, el mantenimiento):

$B$ $(0{,}6)$ : $M$ $(0{,}25)$ → $0{,}6\cdot 0{,}25 = 0{,}15$ ; $\overline M$ $(0{,}75)$ → $0{,}45$
$T_M$ $(0{,}3)$ : $M$ $(0{,}4)$ → $0{,}3\cdot 0{,}4 = 0{,}12$ ; $\overline M$ $(0{,}6)$ → $0{,}18$
$A$ $(0{,}1)$ : $M$ $(0{,}6)$ → $0{,}1\cdot 0{,}6 = 0{,}06$ ; $\overline M$ $(0{,}4)$ → $0{,}04$

(Las seis ramas suman

1

✓.)

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(B)\,P(M \mid B) + P(T_M)\,P(M \mid T_M) + P(A)\,P(M \mid A)

P(M) = 0{,}6\cdot 0{,}25 + 0{,}3\cdot 0{,}4 + 0{,}1\cdot 0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}12 + 0{,}06 = 0{,}33

b) Por el teorema de Bayes:

P(T_M \mid M) = \frac{P(T_M)\,P(M \mid T_M)}{P(M)} = \frac{0{,}3\cdot 0{,}4}{0{,}33} = \frac{0{,}12}{0{,}33} = \frac{4}{11} \approx 0{,}3636

Comprobación de sentido. Las tres probabilidades «a posteriori» deben sumar 1:

P(B \mid M) = \frac{0{,}15}{0{,}33} = \frac{5}{11}

P(T_M \mid M) = \frac{4}{11}

P(A \mid M) = \frac{0{,}06}{0{,}33} = \frac{2}{11}

, y

\frac{5 + 4 + 2}{11} = 1

✓. Saber que el barco ha necesitado mantenimiento sube la probabilidad de que sea de tonelaje medio de

0{,}3

0{,}36

, porque esos barcos lo necesitan más que los de tonelaje bajo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el dato es «ha necesitado mantenimiento»: eso va detrás de la barra, $P(T_M \mid M)$ . Responder con $P(M \mid T_M) = 0{,}4$ , que ya venía en el enunciado, es el error que más se ve.

Escribe el árbol o, al menos, los sucesos y las fórmulas con su nombre (probabilidad total, Bayes): el planteamiento cuenta tanto como la cuenta.