Distribución normal

Sea $X$ = «peso en kg de un alumno elegido al azar», $X \sim N(\mu = 75,\ \sigma = 5)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos los extremos:$$z_1 = \frac{70 - 75}{5} = -1, \qquad z_2 = \frac{80 - 75}{5} = 1$$$$P(70 \le X \le 80) = P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z < -1)$$Por la simetría de la normal, $P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$. De la tabla, $P(Z \le 1) = 0{,}8413$:$$P(70 \le X \le 80) = 0{,}8413 - (1 - 0{,}8413) = 2\cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826$$b) Tipificamos:$$z = \frac{85 - 75}{5} = 2$$$$P(X > 85) = P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$$Comprobación de sentido. En a) es la conocida regla de que en una normal alrededor del $68\ \%$ de los datos están a menos de una desviación típica de la media. En b), 85 kg está a dos desviaciones por encima: solo algo más del $2\ \%$ de los alumnos pesan más.