Integrales

a) El dominio de $f$ es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Igualamos:$$\frac{2}{x} = 3 - x \;\Longrightarrow\; 2 = 3x - x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 - 3x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$$$x = 1 \quad \text{o} \quad x = 2$$(ninguna es $0$, así que las dos valen). Las ordenadas: $g(1) = 2$ y $g(2) = 1$ (y en efecto $f(1) = 2$, $f(2) = 1$). Los puntos de corte son$$(1, 2) \quad \text{y} \quad (2, 1)$$b) Entre $x = 1$ y $x = 2$ la recta va por encima de la hipérbola (por ejemplo, en $x = 1{,}5$: $g = 1{,}5 > f = 1{,}\overline{3}$), como dice el enunciado. Ambas funciones son continuas en $[1, 2]$, así que el área es$$\text{Área} = \int_1^2 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_1^2\left(3 - x - \frac{2}{x}\right)dx$$Una primitiva es $3x - \frac{x^2}{2} - 2\ln|x|$, y en $[1, 2]$ podemos quitar el valor absoluto. Por Barrow:$$\text{Área} = \left[3x - \frac{x^2}{2} - 2\ln x\right]_1^2 = \left(6 - 2 - 2\ln 2\right) - \left(3 - \frac{1}{2} - 2\ln 1\right)$$$$= 4 - 2\ln 2 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} - 2\ln 2 \ \text{u}^2 \approx 0{,}1137 \ \text{u}^2$$Comprobación de sentido. El recinto es una franja estrecha entre una recta y una curva que se cortan en $x = 1$ y $x = 2$; la mayor separación es pequeña ($g - f$ vale $3 - 2\sqrt 2 \approx 0{,}17$ en $x = \sqrt 2$), así que un área de algo más de una décima es razonable. Y es positiva, como debe ser.