Límites y continuidad

a) Sustituyendo $x = 0$:$$\frac{e^0 - \cos 0 - 0}{e^0 + \operatorname{sen} 0 - 1} = \frac{1 - 1 - 0}{1 + 0 - 1} = \frac{0}{0}$$Indeterminación. Numerador y denominador son derivables cerca de $0$, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{e^x + \operatorname{sen} x - 1}{e^x + \cos x} = \frac{1 + 0 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$Ojo: ahora el denominador vale $2 \neq 0$, así que no hay que volver a aplicar L'Hôpital; el límite es $0$.

(Comprobación con desarrollos de Taylor: el numerador es $\left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - x + \dots = x^2 + \dots$ y el denominador, $(1 + x) + x - 1 + \dots = 2x + \dots$; el cociente se comporta como $\frac{x}{2} \to 0$ ✓.)

b) Una primitiva de $\operatorname{sen} x + \cos x$ es $F(x) = -\cos x + \operatorname{sen} x$ (derivando, $F'(x) = \operatorname{sen} x + \cos x$ ✓). La función es continua en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ y, por la regla de Barrow:$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen} x + \cos x)\,dx = \Bigl[-\cos x + \operatorname{sen} x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\frac{\pi}{2} + \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos 0 + \operatorname{sen} 0\right)$$$$= (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$$Como el integrando es positivo en todo el intervalo, el resultado es el área bajo la curva, y tiene sentido que sea positivo.