Límites y continuidad

La ecuación equivale a $x^3 - 12x + 2 = 0$. Definimos$$g(x) = x^3 - 12x + 2$$Existencia (teorema de Bolzano).

• $g$ es un polinomio, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-2, 2]$.
• En los extremos:

$$g(-2) = (-2)^3 - 12\cdot(-2) + 2 = -8 + 24 + 2 = 18 > 0, \qquad g(2) = 8 - 24 + 2 = -14 < 0$$Como $g$ es continua en $[-2, 2]$ y $g(-2)$ y $g(2)$ tienen signos opuestos, por el teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (-2, 2)$ con $g(c) = 0$, es decir, una solución de la ecuación en el intervalo.

Unicidad (monotonía). $g$ es derivable en $\mathbb{R}$ con$$g'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$$Para $x \in (-2, 2)$ se tiene $x^2 < 4$, así que $g'(x) < 0$: $g$ es estrictamente decreciente en $[-2, 2]$ (solo se anula en los extremos). Una función estrictamente decreciente es inyectiva: no puede tomar el valor $0$ en dos puntos distintos. Por tanto la solución $c$ es única en $[-2, 2]$.

Otra forma (Rolle). Si hubiera dos soluciones $c_1 < c_2$ en $[-2, 2]$, sería $g(c_1) = g(c_2) = 0$ y, como $g$ es continua en $[c_1, c_2]$ y derivable en $(c_1, c_2)$, el teorema de Rolle daría un punto $d \in (c_1, c_2) \subset (-2, 2)$ con $g'(d) = 0$. Pero $g'$ solo se anula en $x = \pm 2$, que no están en el interior del intervalo: contradicción.

Comprobación numérica. $g(0) = 2 > 0$ y $g(1) = -9 < 0$, así que la raíz está en $(0, 1)$; vale $c \approx 0{,}167$.