Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Representar gráficamente la función

f(x) = xe^x

, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, -1),\ \text{creciente en } (-1, +\infty);\ \text{mínimo en } \left(-1, -\tfrac{1}{e}\right)}

\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, -2),\ \text{convexa en } (-2, +\infty);\ \text{inflexión en } \left(-2, -\tfrac{2}{e^2}\right)}

\boxed{\text{A. horizontal } y = 0 \text{ en } -\infty;\ \text{sin verticales ni oblicuas}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el estudio completo de una función. El plan: dominio y cortes con los ejes; asíntotas con límites (en

-\infty

aparece una indeterminación

\infty\cdot 0

que se resuelve con L'Hôpital); $f'$ para el crecimiento y los extremos; $f''$ para la curvatura y los puntos de inflexión. Como

e^x > 0

siempre, el signo de

f'

y de

f''

lo decide un factor de primer grado, y los cálculos son muy cortos. Con todo eso se dibuja la gráfica.

Desarrollo

Dominio y cortes.

f

es producto de un polinomio y una exponencial: es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}

f(x) = 0 \iff x = 0

(porque

e^x \neq 0

): corta a los dos ejes solo en el origen

(0, 0)

. Además,

f(x) < 0

x < 0

f(x) > 0

x > 0

.

Asíntotas.

Verticales: no tiene, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .
En $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xe^x = +\infty$ , sin asíntota horizontal. Tampoco oblicua: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$ , que no es un número.
En $-\infty$ : aparece la indeterminación $(-\infty)\cdot 0$ . La escribimos como cociente y aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to-\infty} xe^x = \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{-x}} \;\left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0

Luego

y = 0

es asíntota horizontal en $-\infty$ . Como

f(x) < 0

para

x < 0

, la gráfica se acerca al eje

OX

por debajo.

Monotonía y extremos. Por la regla del producto:

f'(x) = e^x + xe^x = (1 + x)\,e^x

f'(x) = 0 \iff x = -1

. Como

e^x > 0

, el signo de

f'

es el de

1 + x

En $(-\infty, -1)$ : $f' < 0$ , decreciente.
En $(-1, +\infty)$ : $f' > 0$ , creciente.

x = -1

pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en

\left(-1,\ f(-1)\right) = \left(-1,\ -\frac{1}{e}\right) \approx (-1;\ -0{,}37)

(que de hecho es el mínimo absoluto). No hay máximos.

Curvatura e inflexión.

f''(x) = e^x + (1 + x)\,e^x = (2 + x)\,e^x

f''(x) = 0 \iff x = -2

, y su signo es el de

2 + x

En $(-\infty, -2)$ : $f'' < 0$ , cóncava (forma de $\cap$ ).
En $(-2, +\infty)$ : $f'' > 0$ , convexa (forma de $\cup$ ).

Como cambia la curvatura en

x = -2

, hay un punto de inflexión en

\left(-2,\ f(-2)\right) = \left(-2,\ -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2;\ -0{,}27)

Gráfica. Viniendo desde

-\infty

la curva está pegada al eje

OX

por debajo, cóncava y decreciente; en

x = -2

cambia a convexa (punto de inflexión a altura

-0{,}27

), sigue bajando hasta el mínimo

(-1;\ -0{,}37)

, sube cortando el eje en el origen y crece cada vez más deprisa hacia

+\infty

. Algunos valores para dibujarla:

f(-3) = -3/e^3 \approx -0{,}15

f(1) = e \approx 2{,}72

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El límite en $-\infty$ es el punto delicado: $x\to-\infty$ y $e^x\to 0$ dan $\infty\cdot 0$ , que no vale « $0$ » a simple vista. Escríbelo como $x/e^{-x}$ y aplica L'Hôpital, o di que la exponencial manda sobre el polinomio, pero justifícalo.

Hay libros que llaman cóncava a lo que otros llaman convexa: escribe junto a la palabra el signo de $f''$ o el dibujo ( $\cup$ , $\cap$ ) y no habrá duda.