Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Dados el punto

A(1, 2, 4)

y la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{2}

,

a) (1,5 puntos) Hallar un punto

B

de la recta

r

de forma que el vector

\overrightarrow{AB}

sea paralelo al plano

\pi \equiv x + 2z = 0

.

b) (0,5 puntos) Hallar un vector

(a, b, c)

perpendicular a

(1, 0, -1)

(2, 1, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ B = (3, 2, 3),\quad \overrightarrow{AB} = (2, 0, -1)}

\boxed{\text{b)}\ (a, b, c) = (1, -2, 1)\ \ (\text{o cualquier } \lambda(1, -2, 1),\ \lambda \neq 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) escribimos el punto genérico de

r

en paramétricas,

B(t)

, y con él el vector

\overrightarrow{AB}

en función de

t

. Un vector es paralelo a un plano cuando es perpendicular a su vector normal, es decir, cuando su producto escalar con

\vec n_\pi

es cero: eso da una ecuación de primer grado en

t

.

En b) el producto vectorial de los dos vectores da directamente un vector perpendicular a ambos (y cualquier múltiplo no nulo suyo también lo es).

Desarrollo

a) De la ecuación continua de

r

se leen un punto,

(1, 1, 1)

, y el vector director,

\vec u_r = (2, 1, 2)

. En paramétricas:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{array}\right. \qquad B = (1 + 2t,\ 1 + t,\ 1 + 2t)

El vector desde

A(1, 2, 4)

hasta

B

\overrightarrow{AB} = (1 + 2t - 1,\ 1 + t - 2,\ 1 + 2t - 4) = (2t,\ t - 1,\ 2t - 3)

El vector normal de

\pi \equiv x + 2z = 0

\vec n_\pi = (1, 0, 2)

. Imponemos que

\overrightarrow{AB}

sea perpendicular a él:

\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_\pi = 2t\cdot 1 + (t - 1)\cdot 0 + (2t - 3)\cdot 2 = 6t - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1

Sustituyendo

t = 1

B = (3, 2, 3), \qquad \overrightarrow{AB} = (2, 0, -1)

Comprobación.

B

está en

r

\frac{3-1}{2} = \frac{2-1}{1} = \frac{3-1}{2} = 1

✓. Y

\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_\pi = 2 + 0 - 2 = 0

✓, así que

\overrightarrow{AB}

es paralelo a

\pi

.

b) Un vector perpendicular a

\vec v = (1, 0, -1)

y a

\vec w = (2, 1, 0)

es su producto vectorial:

\vec v\times\vec w = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot 0 - (-1)\cdot 1)\,\vec i - (1\cdot 0 - (-1)\cdot 2)\,\vec j + (1\cdot 1 - 0\cdot 2)\,\vec k = (1, -2, 1)

Comprobación:

(1, -2, 1)\cdot(1, 0, -1) = 1 - 1 = 0

✓ y

(1, -2, 1)\cdot(2, 1, 0) = 2 - 2 = 0

✓.

Sirve cualquier múltiplo no nulo:

(a, b, c) = \lambda(1, -2, 1)

con

\lambda \neq 0

Consejo

«Vector paralelo a un plano» se traduce en «producto escalar con el normal igual a cero», no en «proporcional al normal»: eso sería perpendicular al plano. Confundirlos es el error típico.

Si se te olvida el producto vectorial en b), plantea el sistema $a - c = 0$ , $2a + b = 0$ y da una solución no nula: vale igual.