Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2020 · Julio
Enunciado
Sea el plano π≡x−2y+2z+1=0\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0, la recta r≡{x−y=0z+1=0r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - y = 0 \\ z + 1 = 0 \end{array}\right. y el punto A=(1,3,−1)A = (1, 3, -1). Hallar la ecuación del plano que pasa por AA, es paralelo a rr y perpendicular a π\pi.
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Resultado
  2x−2y−3z+1=0  \boxed{\;2x - 2y - 3z + 1 = 0\;}
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Estrategia

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. El punto es AA. Que el plano buscado sea paralelo a rr significa que contiene la dirección de rr: su vector director u⃗r\vec u_r es un vector del plano. Que sea perpendicular a π\pi significa que contiene la dirección perpendicular a π\pi: el vector normal n⃗π\vec n_\pi también es un vector del plano.

Con u⃗r\vec u_r y n⃗π\vec n_\pi, el producto vectorial u⃗r×n⃗π\vec u_r \times \vec n_\pi da directamente el vector normal del plano buscado.
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Desarrollo

Vector normal de π\pi. Se leen los coeficientes de xx, yy, zz:n⃗π=(1,−2,2)\vec n_\pi = (1, -2, 2)Vector director de rr. La recta viene como corte de dos planos. De z+1=0z + 1 = 0 sale z=−1z = -1, y de x−y=0x - y = 0, y=xy = x. Tomando x=tx = t:r≡{x=ty=tz=−1⟹u⃗r=(1,1,0),Pr=(0,0,−1)∈rr \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = -1 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \vec u_r = (1, 1, 0), \quad P_r = (0, 0, -1) \in r(Equivale a hacer el producto vectorial de los normales de los dos planos: (1,−1,0)×(0,0,1)=(−1,−1,0)(1, -1, 0)\times(0, 0, 1) = (-1, -1, 0), proporcional a (1,1,0)(1, 1, 0).)

Normal del plano buscado. Como u⃗r\vec u_r y n⃗π\vec n_\pi no son proporcionales, generan el plano, y su producto vectorial es perpendicular a ambos:n⃗=u⃗r×n⃗π=∣i⃗j⃗k⃗1101−22∣=(1⋅2−0⋅(−2)) i⃗−(1⋅2−0⋅1) j⃗+(1⋅(−2)−1⋅1) k⃗=(2,−2,−3)\vec n = \vec u_r \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot 2 - 0\cdot(-2))\,\vec i - (1\cdot 2 - 0\cdot 1)\,\vec j + (1\cdot(-2) - 1\cdot 1)\,\vec k = (2, -2, -3)Ecuación. El plano es 2x−2y−3z+D=02x - 2y - 3z + D = 0, y como pasa por A=(1,3,−1)A = (1, 3, -1):2⋅1−2⋅3−3⋅(−1)+D=0  ⟹  2−6+3+D=0  ⟹  D=12\cdot 1 - 2\cdot 3 - 3\cdot(-1) + D = 0 \;\Longrightarrow\; 2 - 6 + 3 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 1σ≡2x−2y−3z+1=0\sigma \equiv 2x - 2y - 3z + 1 = 0Comprobación.
  • Pasa por AA: 2−6+3+1=02 - 6 + 3 + 1 = 0 ✓.
  • Perpendicular a π\pi: n⃗⋅n⃗π=2+4−6=0\vec n\cdot\vec n_\pi = 2 + 4 - 6 = 0 ✓ (los normales son perpendiculares).
  • Paralelo a rr: n⃗⋅u⃗r=2−2+0=0\vec n\cdot\vec u_r = 2 - 2 + 0 = 0 ✓, y el punto Pr=(0,0,−1)P_r = (0, 0, -1) de rr no está en el plano (0−0+3+1=4≠00 - 0 + 3 + 1 = 4 \neq 0), así que rr es paralela al plano y no está contenida en él.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

«Paralelo a una recta» aporta al plano el director de la recta; «perpendicular a un plano» aporta el normal de ese plano. Los dos son vectores contenidos en el plano que buscas, no su normal: el normal es su producto vectorial.

Cuando la recta viene en implícitas, pásala a paramétricas (o haz el producto vectorial de los dos normales) antes de nada.
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