Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2020 · Julio

Enunciado

Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ a-3 & a-3 \end{pmatrix}

.

a) (0,5 puntos) Indique para qué valores de

a

existe la matriz inversa

A^{-1}

.

b) (1,5 puntos) Si

a = 4

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

, encuentre la matriz

X

que verifica que

B + XA = C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \exists\, A^{-1} \iff a \neq 0 \ \text{y}\ a \neq 3}

\boxed{\text{b)}\ X = (C - B)A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero: en a) basta con calcular

|A|

en función de

a

y ver dónde se anula.

En b) despejamos

X

como en una ecuación, pero respetando el orden del producto:

X

está multiplicada por

A

por la derecha, así que hay que multiplicar por

A^{-1}

también por la derecha. Con

a = 4

la matriz es invertible (por el apartado a), calculamos

A^{-1}

por adjuntos y hacemos el producto.

Desarrollo

a) Calculamos el determinante:

|A| = (a+1)(a-3) - 1\cdot(a-3) = (a-3)\bigl[(a+1) - 1\bigr] = a(a-3)

|A| = 0 \iff a = 0 \ \text{o}\ a = 3

Por tanto,

A^{-1}

existe si y solo si

a \neq 0

a \neq 3

.

b) Despejamos

X

B + XA = C \;\Longrightarrow\; XA = C - B \;\Longrightarrow\; XAA^{-1} = (C - B)A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = (C - B)\,A^{-1}

Esto es posible porque con

a = 4

(distinto de

0

y de

3

) la matriz

A

es invertible:

A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 4\cdot(4-3) = 4

(directamente,

5 - 1 = 4

). La inversa de una matriz

2\times 2

se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante:

A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

Por otra parte,

C - B = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 1 - 0 \\ 0 - 1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

y el producto, en este orden:

X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 - 1 & 1 + 5 \\ -1 - 1 & 1 + 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

Comprobación. Calculamos

XA

XA = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

B + XA = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 + 1 \\ 1 - 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = C

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error que más puntos cuesta en b) es escribir $X = A^{-1}(C - B)$ : el producto de matrices no es conmutativo y $X$ multiplica a $A$ por la izquierda, así que $A^{-1}$ va a la derecha. Comprueba siempre que tu $X$ cumple la ecuación: son cuatro cuentas.

En a) saca factor común $(a - 3)$ antes de desarrollar: el determinante sale factorizado y las raíces se leen directamente.