Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & a & -2 \end{pmatrix}$$Como el sistema es homogéneo, la matriz ampliada solo añade una columna de ceros, así que $\operatorname{rg}(A^*) = \operatorname{rg}(A)$ siempre: el sistema es siempre compatible.

Calculamos $|A|$ por Sarrus:$$|A| = 1\cdot 0\cdot(-2) + (-1)(-1)\cdot 2 + a\cdot 1\cdot a - \bigl[a\cdot 0\cdot 2 + 1\cdot(-1)\cdot a + (-2)\cdot 1\cdot(-1)\bigr]$$$$|A| = (0 + 2 + a^2) - (0 - a + 2) = a^2 + a = a(a + 1)$$$$|A| = 0 \iff a = 0 \ \text{o}\ a = -1$$Caso $a \neq 0$ y $a \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado. Su única solución es la trivial, $x = y = z = 0$.

Caso $a = 0$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro. (La tercera fila, $(2, 0, -2)$, es el doble de la segunda.)

Caso $a = -1$. El mismo menor de orden 2 sigue valiendo $1 \neq 0$ y $|A| = 0$: $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$, sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro). Aquí la tercera fila $(2, -1, -2)$ es la suma de las dos primeras.

b) Con $a = -1$ estamos en el último caso. Como $\operatorname{rg}(A) = 2$, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo) y la tercera sobra:$$\left\{\begin{array}{l} x - y - z = 0 \\ x - z = 0 \end{array}\right.$$De la segunda, $x = z$. Llevándolo a la primera, $z - y - z = 0$, es decir, $y = 0$. Tomando $z = \lambda$ como parámetro:$$x = \lambda, \qquad y = 0, \qquad z = \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación en las tres ecuaciones con $a = -1$: $\lambda - 0 - \lambda = 0$ ✓; $\lambda - \lambda = 0$ ✓; $2\lambda + (-1)\cdot 0 - 2\lambda = 0$ ✓.