Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

Los estudiantes, que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un

50\%

de Andalucía, un

15\%

de Baleares y un

35\%

provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes:

15\%

de Andalucía,

10\%

de Baleares y

5\%

de Castilla y León.

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina.

b) (1 punto) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(N) = 0{,}1075\ \ (10{,}75\ \%)}

\boxed{\text{b)}\ P(A \mid N) = \tfrac{30}{43} \approx 0{,}6977 > P(C \mid N) = \tfrac{7}{43} \approx 0{,}1628:\ \text{Andalucía}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las tres comunidades forman un sistema completo de sucesos (todo estudiante viene de una y solo de una) y conocemos la probabilidad de no titularse dentro de cada una. Es el esquema del diagrama de árbol:

En a), el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de cada rama que acaba en «no se titula».
En b), el teorema de Bayes: se calcula la probabilidad de cada comunidad sabiendo que el alumno no se ha titulado, y se comparan.

(El enunciado habla indistintamente de «título de Médico» y «título de Licenciado en Medicina»: es el mismo suceso.)

Desarrollo

Sucesos:

A

= «es de Andalucía»,

B

= «es de Baleares»,

C

= «es de Castilla y León» y

N

= «no consigue el título». Datos:

P(A) = 0{,}50, \qquad P(B) = 0{,}15, \qquad P(C) = 0{,}35

P(N \mid A) = 0{,}15, \qquad P(N \mid B) = 0{,}10, \qquad P(N \mid C) = 0{,}05

A

B

C

son incompatibles dos a dos y

P(A) + P(B) + P(C) = 1

: forman un sistema completo.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(N) = P(A)\,P(N \mid A) + P(B)\,P(N \mid B) + P(C)\,P(N \mid C)

P(N) = 0{,}50\cdot 0{,}15 + 0{,}15\cdot 0{,}10 + 0{,}35\cdot 0{,}05 = 0{,}075 + 0{,}015 + 0{,}0175 = 0{,}1075

10{,}75\ \%

de los estudiantes no consigue el título.

b) Por el teorema de Bayes, con el denominador

P(N) = 0{,}1075

de a):

P(A \mid N) = \frac{P(A)\,P(N \mid A)}{P(N)} = \frac{0{,}075}{0{,}1075} = \frac{30}{43} \approx 0{,}6977

P(C \mid N) = \frac{P(C)\,P(N \mid C)}{P(N)} = \frac{0{,}0175}{0{,}1075} = \frac{7}{43} \approx 0{,}1628

Como

P(A \mid N) > P(C \mid N)

, si un alumno no consigue el título es más probable que provenga de Andalucía (más de cuatro veces más probable que de Castilla y León).

Comprobación. Con Baleares,

P(B \mid N) = \dfrac{0{,}015}{0{,}1075} = \dfrac{6}{43}

, y las tres probabilidades a posteriori suman

\dfrac{30 + 6 + 7}{43} = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no basta con mirar los porcentajes de suspenso de cada comunidad, ni solo las probabilidades a priori: hay que aplicar Bayes, que pesa las dos cosas a la vez.

Truco: como las dos probabilidades comparten el denominador $P(N)$ , basta con comparar los numeradores ( $0{,}075$ frente a $0{,}0175$ ); aun así, da los valores para justificar.