Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2020 · Septiembre
Enunciado
El consumo de azúcar en un determinado país, calculado en Kg (kilogramos) por persona y año, varía según una distribución normal de media 1515 y desviación típica 55.

a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 1010 Kg de azúcar al año?

b) (1 punto) ¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 2525 Kg?

(Se adjunta la tabla de la normal.)
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Resultado
a) P(X<10)=P(Z<−1)=0,1587 ⇒ 15,87 %\boxed{\text{a)}\ P(X < 10) = P(Z < -1) = 0{,}1587 \ \Rightarrow\ 15{,}87\ \%}b) P(X>25)=P(Z>2)=0,0228 ⇒ 2,28 %\boxed{\text{b)}\ P(X > 25) = P(Z > 2) = 0{,}0228 \ \Rightarrow\ 2{,}28\ \%}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Llamamos XX al consumo anual de una persona elegida al azar: X∼N(15; 5)X \sim N(15;\ 5). En los dos apartados se tipifica con Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma} y se busca en la tabla de la N(0,1)N(0, 1), que solo da P(Z≤z)P(Z \le z) con z≥0z \ge 0. La cola izquierda de a) se resuelve por simetría y la cola derecha de b), con el complementario. Al final, la probabilidad se pasa a porcentaje.
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Desarrollo

Sea XX = «consumo anual de azúcar, en kg, de una persona del país», con X∼N(μ=15; σ=5)X \sim N(\mu = 15;\ \sigma = 5), y Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1).

a) Tipificamos:P(X<10)=P(Z<10−155)=P(Z<−1)P(X < 10) = P\left(Z < \frac{10 - 15}{5}\right) = P(Z < -1)Por la simetría de la normal, P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z≤1)P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1). De la tabla, P(Z≤1,00)=0,8413P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413:P(X<10)=1−0,8413=0,1587P(X < 10) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587Es decir, el 15,87 %15{,}87\ \% de las personas consume menos de 1010 kg al año.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Tipificamos:P(X>25)=P(Z>25−155)=P(Z>2)=1−P(Z≤2)P(X > 25) = P\left(Z > \frac{25 - 15}{5}\right) = P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2)De la tabla, P(Z≤2,00)=0,9772P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772:P(X>25)=1−0,9772=0,0228P(X > 25) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228Es decir, el 2,28 %2{,}28\ \% de las personas consume más de 2525 kg al año.

Comprobación de sentido. 1010 kg está a una desviación típica por debajo de la media y 2525 kg a dos por encima. Por la regla del 6868-9595, fuera de μ±σ\mu \pm \sigma queda un 32 %32\ \% (la mitad, un 16 %16\ \%, por debajo) y fuera de μ±2σ\mu \pm 2\sigma un 5 %5\ \% (la mitad, algo más del 2 %2\ \%, por encima). Encaja.
3

Consejo

Define la variable con sus parámetros, X∼N(15; 5)X \sim N(15;\ 5), antes de tipificar: es parte de la puntuación. Y no confundas la desviación típica con la varianza: se divide entre 55.

La tabla no tiene valores negativos: escribe el paso P(Z<−1)=1−P(Z≤1)P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1). Y como preguntan un porcentaje, termina multiplicando por 100100.
Paso 1 de 3
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