Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

a) (1 punto) Dada la función

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

. Encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) (1 punto) Dada la función

f(x) = x^2 - 2x

. Estudiar el signo de la función en el intervalo

[1,3]

y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje

OX

y las rectas

x = 1

x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Crece en } (0, e),\ \text{decrece en } (e, +\infty);\ \text{máximo relativo en } \left(e, \tfrac{1}{e}\right)}

\boxed{\text{b)}\ f < 0 \text{ en } [1, 2),\ f > 0 \text{ en } (2, 3];\quad \text{Área} = \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3} = 2\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) empezamos por el dominio (

x > 0

, por el logaritmo), derivamos con la regla del cociente, buscamos dónde se anula

f'

y estudiamos su signo a cada lado: donde

f' > 0

crece, donde

f' < 0

decrece, y el cambio de signo da el extremo.

En b) la parábola

x^2 - 2x = x(x - 2)

corta al eje en

x = 2

, dentro de

[1, 3]

: es negativa a un lado y positiva al otro. El área hay que partirla en

x = 2

y tomar el valor absoluto de cada integral (regla de Barrow).

Desarrollo

a) Dominio:

\ln x

exige

x > 0

, y el denominador no se anula allí;

\operatorname{Dom} f = (0, +\infty)

.

Derivamos con la regla del cociente:

f'(x) = \frac{\dfrac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

Puntos críticos:

f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e

.

Como

x^2 > 0

, el signo de

f'

es el de

1 - \ln x

En $(0, e)$ : $\ln x < 1$ , luego $f'(x) > 0$ y $f$ es creciente.
En $(e, +\infty)$ : $\ln x > 1$ , luego $f'(x) < 0$ y $f$ es decreciente.

x = e

la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo en

\left(e,\ f(e)\right) = \left(e,\ \frac{\ln e}{e}\right) = \left(e,\ \frac{1}{e}\right) \approx (2{,}718;\ 0{,}368)

No hay más extremos relativos (es el único punto crítico y

f

es derivable en todo su dominio).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Factorizamos:

f(x) = x^2 - 2x = x(x - 2)

, que se anula en

x = 0

x = 2

. En el intervalo

[1, 3]

En $[1, 2)$ : $x > 0$ y $x - 2 < 0$ , luego $f(x) < 0$ (por ejemplo, $f(1) = -1$ ).
En $x = 2$ : $f(2) = 0$ .
En $(2, 3]$ : $x > 0$ y $x - 2 > 0$ , luego $f(x) > 0$ (por ejemplo, $f(3) = 3$ ).

Como la gráfica está por debajo del eje en

[1, 2]

y por encima en

[2, 3]

, partimos la integral en

x = 2

. Una primitiva es

G(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2

, con

G(1) = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}, \qquad G(2) = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}, \qquad G(3) = 9 - 9 = 0

Por la regla de Barrow:

\int_1^2 (x^2 - 2x)\,dx = G(2) - G(1) = -\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}

\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = G(3) - G(2) = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}

El área es la suma de los valores absolutos:

\text{Área} = \left|-\frac{2}{3}\right| + \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 \ \text{u}^2

(Si se integrara de

1

3

de golpe saldría

-\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

, que no es el área: los dos trozos se compensan.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) escribe el dominio antes de nada: los intervalos empiezan en $0$ , no en $-\infty$ . Y justifica el máximo con el cambio de signo de $f'$ , no solo con $f'(e) = 0$ .

En b) el propio enunciado te avisa al pedir el signo: si la función cambia de signo dentro del intervalo, parte la integral en el corte y suma los valores absolutos.