Límites y continuidad

a) Al sustituir $x = 1$: numerador $\sqrt{1} - \sqrt{1} = 0$ y denominador $0$. Indeterminación $\frac{0}{0}$. Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador:$$\frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x} = \frac{(x^2 - x + 1) - (2x - 1)}{(1 - x)\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x - 1}\right)} = \frac{x^2 - 3x + 2}{(1 - x)\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x - 1}\right)}$$Factorizamos $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ y usamos $1 - x = -(x - 1)$:$$= \frac{(x - 1)(x - 2)}{-(x - 1)\left(\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x - 1}\right)} = \frac{-(x - 2)}{\sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x - 1}} \quad (x \neq 1)$$Ahora ya se puede sustituir:$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x} = \frac{-(1 - 2)}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$Comprobación con L'Hôpital. Derivando numerador y denominador:$$\lim_{x \to 1} \frac{\dfrac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{2x - 1}}}{-1} = \frac{\dfrac{1}{2} - 1}{-1} = \frac{1}{2} \ ✓$$b) Observamos que la derivada del denominador es el numerador:$$\left(x^2 + e^{-x}\right)' = 2x - e^{-x}$$Por tanto la integral es inmediata de tipo $\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$:$$\int \frac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}}\,dx = \ln\left|x^2 + e^{-x}\right| + C = \ln\left(x^2 + e^{-x}\right) + C$$(Quitamos el valor absoluto porque $x^2 \ge 0$ y $e^{-x} > 0$, así que $x^2 + e^{-x} > 0$ para todo $x$.)

Imponemos $F(0) = 3$:$$F(0) = \ln\left(0 + e^{0}\right) + C = \ln 1 + C = C = 3$$$$F(x) = \ln\left(x^2 + e^{-x}\right) + 3$$Comprobación. $F'(x) = \dfrac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}} = f(x)$ ✓ y $F(0) = 0 + 3 = 3$ ✓.