Matemáticas IIMedio2 pts

Límites y continuidad

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

Demostrar que la ecuación

x^4 + 3x = 1 + \operatorname{sen} x

tiene alguna solución real en el intervalo

[0, 2]

. Probar que la solución es única.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g(0) = -1 < 0,\ \ g(2) > 0 \ \Rightarrow\ \text{existe solución en } (0, 2)\ \text{(Bolzano)}\;}

\boxed{\;g'(x) = 4x^3 + 3 - \cos x \ge 2 > 0 \ \Rightarrow\ \text{la solución es única}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Pasamos todo a un miembro y estudiamos la función

g(x) = x^4 + 3x - 1 - \operatorname{sen} x

: las soluciones de la ecuación son los ceros de

g

Existencia: $g$ es continua en $[0, 2]$ y cambia de signo entre los extremos, así que el teorema de Bolzano garantiza al menos un cero.
Unicidad: si $g' > 0$ en todo el intervalo, $g$ es estrictamente creciente y no puede anularse dos veces. (También se puede argumentar con el teorema de Rolle: dos ceros obligarían a que $g'$ se anulara entre ellos.)

Desarrollo

Definimos

g(x) = x^4 + 3x - 1 - \operatorname{sen} x

de modo que

x

es solución de la ecuación si y solo si

g(x) = 0

.

Existencia (Bolzano).

$g$ es continua en $[0, 2]$ (de hecho en todo $\mathbb{R}$ ), por ser suma de un polinomio y de la función seno, que son continuas.
Valores en los extremos (con la calculadora en radianes):

g(0) = 0 + 0 - 1 - \operatorname{sen} 0 = -1 < 0

g(2) = 16 + 6 - 1 - \operatorname{sen} 2 = 21 - \operatorname{sen} 2 \approx 21 - 0{,}909 = 20{,}09 > 0

(Ni siquiera hace falta la calculadora: como

\operatorname{sen} 2 \le 1

g(2) \ge 20 > 0

.)

Por el teorema de Bolzano, existe al menos un

c \in (0, 2)

con

g(c) = 0

, es decir, la ecuación tiene alguna solución en

[0, 2]

.

Unicidad (monotonía).

g

es derivable en

\mathbb{R}

g'(x) = 4x^3 + 3 - \cos x

Para

x \in [0, 2]

se tiene

4x^3 \ge 0

, y como

\cos x \le 1

3 - \cos x \ge 2

. Por tanto

g'(x) = 4x^3 + (3 - \cos x) \ge 0 + 2 = 2 > 0 \quad \text{para todo } x \in [0, 2]

Así,

g

es estrictamente creciente en

[0, 2]

: si

x_1 < x_2

, entonces

g(x_1) < g(x_2)

, y

g

no puede tomar el valor

0

en dos puntos distintos. La solución es única.

(Con Rolle: si hubiera dos ceros

x_1 < x_2

[0, 2]

, como

g

es continua y derivable y

g(x_1) = g(x_2) = 0

, existiría

\xi \in (x_1, x_2)

con

g'(\xi) = 0

, lo que es imposible porque

g' \ge 2

.)

Dato orientativo. Numéricamente, la solución es

x \approx 0{,}468

g(0{,}4) < 0

g(0{,}5) > 0

Consejo

Bolzano no se aplica a una ecuación sino a una función: define $g$ pasando todo a un miembro, di que es continua en el intervalo cerrado y da el signo en cada extremo.

Para la unicidad, acota el coseno ( $\cos x \le 1$ ) y no intentes resolver $g'(x) = 0$ : basta con ver que $g'$ es siempre positiva. Y usa la calculadora en radianes.